Consider a particle with spin
which is in the orbital angular momentum state
. Find all the Clebsch-Gordan coefficients involved in the spin-orbit coupling.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os coeficientes de Clebsch-Gordan envolvidos no acoplamento spin-órbita de uma partícula que tem spin $ \frac{1}{2} $ e está em um estado de momento angular orbital $ \ell = 2 $. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente o acoplamento de momentos angulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando acoplamos dois momentos angulares, como o spin ($ S
L
J $) resulta da soma vetorial desses dois. No nosso caso, temos $ S = \frac{1}{2} $ e $ L = 2 $.
Passo 3
O próximo passo é determinar os possíveis valores de $ J $. A regra geral para o acoplamento de dois momentos angulares $ J_1 $ e $ J_2 $ é que o momento total $ J $ pode variar de $ |J_1 - J_2| $ até $ J_1 + J_2 $ em passos de 1. Aplicando isso:
Então, os valores possíveis de $ J $ são $ \frac{3}{2} $ e $ \frac{5}{2} $.
Passo 4
Agora, vamos utilizar os coeficientes de Clebsch-Gordan para encontrar as combinações dos estados de spin e momento angular que resultam nesses valores de $ J $. Os coeficientes de Clebsch-Gordan nos dizem como combinar os estados base para formar os estados acoplados.
Passo 5
Para cada valor de $ J $, precisamos considerar os possíveis valores de $ m_J $ (a componente z de $ J $), que variam de $ -J $ a $ +J $ em passos de 1. Vamos calcular os coeficientes para cada combinação.
Passo 6
Começando com $ J = \frac{5}{2} $:
Os possíveis valores de $ m_J $ são $ -\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2} $.
Para cada $ m_J $, combinamos $ m_L $ e $ m_S $ de modo que $ m_J = m_L + m_S $. Usamos os coeficientes de Clebsch-Gordan correspondentes para cada caso.
Passo 7
Fazendo o mesmo para $ J = \frac{3}{2} $:
Os possíveis valores de $ m_J $ são $ -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} $.
Novamente, combinamos $ m_L $ e $ m_S $ de forma que $ m_J = m_L + m_S $ e aplicamos os coeficientes de Clebsch-Gordan apropriados.
Passo 8
A seguir, apresento os coeficientes de Clebsch-Gordan para cada combinação:
Para $ J = \frac{5}{2} $:
Para $ J = \frac{3}{2} $:
Resposta
Encontramos todos os coeficientes de Clebsch-Gordan envolvidos no acoplamento spin-órbita para uma partícula com spin $ \frac{1}{2} $ e momento angular orbital $ \ell = 2 $. Esses coeficientes descrevem como os estados de spin e orbital se combinam para formar os estados de momento angular total $ J = \frac{5}{2} $ e $ J = \frac{3}{2} $.