Using J=J1+J2 demonstrate that:
dm m^prime^(j)(beta)=summ1, m2 summ1^prime, m2^primelang<= j1, m1 ; j2, m2 mid j, mrang<=lang<= j1, m1^prime ; j2, m2^prime mid j, m^primerang<= dm1 m1^prime^(j1)(beta) dm2 m2^prime^(j2)(beta)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa demonstrar uma relação envolvendo os operadores de momento angular total J = J1 + J2. O conteúdo aqui é da área de mecânica quântica, especificamente sobre a combinação de momentos angulares e matrizes de representação. Para resolver isso, vamos precisar usar os coeficientes de Clebsch-Gordan e entender como os operadores de momento angular atuam nos estados combinados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos dois momentos angulares J1 e J2, o momento angular total é dado por J = J1 + J2. Isso significa que os estados do sistema combinado podem ser escritos como combinações dos estados individuais desses momentos angulares.

Passo 3

Os coeficientes de Clebsch-Gordan lang<= j1, m1; j2, m2 | j, m rang<= são usados para combinar os estados de dois sistemas de momento angular. Eles nos permitem expressar um estado combinado |j, mrang<= em termos dos estados individuais |j1, m1rang<= e |j2, m2rang<=.

Passo 4

A representação de rotação dm m^prime^(j)(beta) descreve como o estado |j, mrang<= se transforma sob uma rotação de ângulo beta em torno do eixo y. Queremos expressar isso em termos das rotações dos momentos angulares individuais J1 e J2.

Passo 5

Sabemos que a rotação de um sistema combinado pode ser escrita como o produto das rotações dos sistemas individuais. Portanto, podemos escrever:
dm m^prime^(j)(beta) = lang<= j, m | e^-i beta Jy | j, m' rang<=
Como J = J1 + J2, podemos expandir o operador exponencial:
e^-i beta Jy = e^-i beta (J1y + J2y) = e^-i beta J1y e^-i beta J2y

Passo 6

Agora, inserimos a resolução da identidade em termos dos coeficientes de Clebsch-Gordan:

Passo 7

Reconhecemos que as matrizes de representação individuais são justamente os dm1 m1^prime^(j1)(beta) e dm2 m2^prime^(j2)(beta). Substituindo isso na equação anterior, temos:
dm m^prime^(j)(beta) = summ1, m2 summ1^prime, m2^prime lang<= j1, m1; j2, m2 | j, m rang<= lang<= j1, m1^prime; j2, m2^prime | j, m^prime rang<= dm1 m1^prime^(j1)(beta) dm2 m2^prime^(j2)(beta)

Resposta

Portanto, demonstramos que:
dm m^prime^(j)(beta)=summ1, m2 summ1^prime, m2^primelang<= j1, m1 ; j2, m2 mid j, mrang<=lang<= j1, m1^prime ; j2, m2^prime mid j, m^primerang<= dm1 m1^prime^(j1)(beta) dm2 m2^prime^(j2)(beta)

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