Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa demonstrar uma relação envolvendo os operadores de momento angular total J = J1 + J2. O conteúdo aqui é da área de mecânica quântica, especificamente sobre a combinação de momentos angulares e matrizes de representação. Para resolver isso, vamos precisar usar os coeficientes de Clebsch-Gordan e entender como os operadores de momento angular atuam nos estados combinados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos dois momentos angulares J1 e J2, o momento angular total é dado por J = J1 + J2. Isso significa que os estados do sistema combinado podem ser escritos como combinações dos estados individuais desses momentos angulares.
Passo 3
Os coeficientes de Clebsch-Gordan lang<= j1, m1; j2, m2 | j, m rang<= são usados para combinar os estados de dois sistemas de momento angular. Eles nos permitem expressar um estado combinado |j, mrang<= em termos dos estados individuais |j1, m1rang<= e |j2, m2rang<=.
Passo 4
A representação de rotação dm m^prime^(j)(beta) descreve como o estado |j, mrang<= se transforma sob uma rotação de ângulo beta em torno do eixo y. Queremos expressar isso em termos das rotações dos momentos angulares individuais J1 e J2.
Passo 5
Sabemos que a rotação de um sistema combinado pode ser escrita como o produto das rotações dos sistemas individuais. Portanto, podemos escrever:
Agora, inserimos a resolução da identidade em termos dos coeficientes de Clebsch-Gordan:
Passo 7
Reconhecemos que as matrizes de representação individuais são justamente os dm1 m1^prime^(j1)(beta) e dm2 m2^prime^(j2)(beta). Substituindo isso na equação anterior, temos: