Evaluate g=A f, where A and f are given below:
partial^2partial x^2+partial^2partial y^2+partial^2partial z^2 x^3 y^2 z^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular
g = hat A f,
onde
hat A = partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2
é o Laplaciano em (x,y,z) e
f(x,y,z) = x^3 y^2 z^4
Vamos aplicar a definição do Laplaciano, que é a soma das segundas derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 2

Calcular partial^2 fpartial x^2. Primeiro
partial fpartial x = partialpartial xl(x^3 y^2 z^4r) = 3x^2,y^2,z^4,
depois
partial^2 fpartial x^2 = partialpartial xl(3x^2,y^2,z^4r) = 6x,y^2,z^4

Passo 3

Calcular partial^2 fpartial y^2. Primeiro
partial fpartial y = partialpartial yl(x^3 y^2 z^4r) = 2x^3,y,z^4,
depois
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial yl(2x^3,y,z^4r) = 2x^3,z^4

Passo 4

Calcular partial^2 fpartial z^2. Primeiro
partial fpartial z = partialpartial zl(x^3 y^2 z^4r) = 4x^3,y^2,z^3,
depois
partial^2 fpartial z^2 = partialpartial zl(4x^3,y^2,z^3r) = 12x^3,y^2,z^2

Passo 5

Somando as três segundas derivadas parciais, obtemos
g = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 6x,y^2,z^4 ;+; 2x^3,z^4 ;+; 12x^3,y^2,z^2

Resposta

g(x,y,z) = 6x,y^2,z^4 + 2x^3,z^4 + 12x^3,y^2,z^2

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