Evaluating Polar Integrals
In Exercises 1-16, change the Cartesian integral into an equivalent polar integral. Then evaluate the polar integral.
In Exercises 1-16, change the Cartesian integral into an equivalent polar integral. Then evaluate the polar integral.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a integral
. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e cálculo de integrais duplas num domínio circular.
Passo 2
Descrição do domínio em polares: A curva
vira
, ou seja
. Como
temos
, e como
exige
, ficamos com
. Logo
.
Passo 3
Expressão do integrando e do elemento de área: Em polares
,
, então
,
e
. Assim o integrando\n
Passo 4
Montagem da integral em polares: Com os limites em
de 0 a
e em
de 0 a
, fica
Passo 5
Cálculo da integral: Integramos primeiro em
:
Então
Sabemos que
e
. Logo o valor é