Evaluating Polar Integrals
In Exercises 1-16, change the Cartesian integral into an equivalent polar integral. Then evaluate the polar integral.
integral0^2 integral0^raiz1-(x-1)^2 x+yx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a integral integral0^2 integral0^raiz1-(x-1)^2 x+yx^2+y^2,dy,dx. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e cálculo de integrais duplas num domínio circular.

Passo 2

Descrição do domínio em polares: A curva (x-1)^2+y^2=1 vira r^2-2rcostheta+1=1, ou seja r=2costheta. Como y>=0 temos thetain[0,pi], e como r>=0 exige costheta>=0, ficamos com thetain[0,tfracpi2]. Logo 0<= r<=2costheta.

Passo 3

Expressão do integrando e do elemento de área: Em polares x=rcostheta, y=rsintheta, então x+y=r(costheta+sintheta), x^2+y^2=r^2 e dx,dy=r,dr,dtheta. Assim o integrando\n x+yx^2+y^2,dx,dy = r(costheta+sintheta)r^2,r,dr,dtheta = (costheta+sintheta),dr,dtheta

Passo 4

Montagem da integral em polares: Com os limites em theta de 0 a tfracpi2 e em r de 0 a 2costheta, fica
integral0^tfracpi2integral0^2costheta(costheta+sintheta),dr,dtheta

Passo 5

Cálculo da integral: Integramos primeiro em r:
integral0^2costheta(costheta+sintheta),dr = (costheta+sintheta)l[rr]0^2costheta =2costheta(costheta+sintheta)
Então
integral0^tfracpi22l(cos^2theta + sinthetacosthetar),dtheta =2integral0^tfracpi2cos^2theta,dtheta +2integral0^tfracpi2sinthetacostheta,dtheta
Sabemos que integral0^tfracpi2cos^2theta,dtheta =pi4 e integral0^tfracpi2sinthetacostheta,dtheta=12. Logo o valor é
2cdotpi4 + 2cdot12 =pi2+1

Resposta

pi2+1

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