Suponha que a função diferenciável
seja dada implicitamente pela equação
, onde
e diferenciável num aberto de
. Verifique que:
(b)
em todo
.
(b)
Passo 1
Neste exercício temos uma função implícita
que define
. O conteúdo é diferenciação implícita em várias variáveis, e vamos precisar aplicar a regra da cadeia para relacionar as derivadas parciais de
com
.
Passo 2
Para diferenciar
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Como
e
são variáveis independentes, temos
e
.
Passo 3
Substituindo essas igualdades, a expressão fica
o que resulta em
Passo 4
Isolando
e usando que
, obtemos