Suponha que a função diferenciável z=g(x, y) seja dada implicitamente pela equação f(x, y, z)=0, onde f e diferenciável num aberto de R^3. Verifique que:
(b) partial zpartial y=-partial fpartial y(x, y, z)partial fpartial z(x, y, z) em todo (x, y) in Dg, com partial fpartial z(x, y, z) neq 0.

Passo 1

Neste exercício temos uma função implícita f(x,y,z)=0 que define z=g(x,y). O conteúdo é diferenciação implícita em várias variáveis, e vamos precisar aplicar a regra da cadeia para relacionar as derivadas parciais de f com partial z/partial y.

Passo 2

Para diferenciar f(x,y,z(x,y)) em relação a y, usamos a regra da cadeia:
partial fpartial xpartial xpartial y+partial fpartial ypartial ypartial y+partial fpartial zpartial zpartial y=0
Como x e y são variáveis independentes, temos partial xpartial y=0 e partial ypartial y=1.

Passo 3

Substituindo essas igualdades, a expressão fica
0+partial fpartial y+partial fpartial zpartial zpartial y=0,
o que resulta em
partial fpartial y+partial fpartial zpartial zpartial y=0

Passo 4

Isolando partial zpartial y e usando que partial fpartial zneq0, obtemos
partial zpartial y=-partial fpartial ypartial fpartial z

Resposta

partial zpartial y=-partial fpartial ypartial fpartial z

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