Evaluating Polar Integrals
In Exercises 1-16, change the Cartesian integral into an equivalent polar integral. Then evaluate the polar integral.
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^0 4 raizx^2+y^21+x^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma integral dupla em coordenadas cartesianas para coordenadas polares e, depois, avaliar essa integral. A integral dada é:
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^0 4 raizx^2+y^21+x^2+y^2 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo em coordenadas cartesianas e vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares, que são super úteis quando lidamos com regiões circulares ou funções envolvendo $ \sqrt{x^2 + y^2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. As integrais vão de $ y = -1 $ a $ y = 1 $ e, para cada $ y $, $ x $ vai de $ -\sqrt{1 - y^2} $ até $ 0 $. Isso corresponde à metade esquerda do círculo unitário (já que $ x $ é negativo e $ \sqrt{1 - y^2} $ é o limite da circunferência).

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta e y = r sintheta
O elemento de área $ dx , dy $ em coordenadas cartesianas se transforma em $ r , dr , d\theta $ em coordenadas polares.

Passo 4

Vamos também converter os limites de integração. Como estamos na metade esquerda do círculo unitário:
  • O raio $ r $ varia de $ 0 $ a $ 1 $ (o raio do círculo unitário).
  • O ângulo $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \frac{3\pi}{2} $ (para cobrir a metade esquerda do círculo).

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integralpi2^3pi2 integral0^1 4 cdot r1 + r^2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando, fica:
4 integralpi2^3pi2 integral0^1 r^21 + r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em $ r $. Observamos que:
r
Então, a integral em $ r $ fica:
r^21 + r^2 = 1 - 11 + r^2

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
4 (1 - pi4) integralpi2^3pi2 dtheta
A integral em $ \theta $ é simplesmente:
theta

Resposta

Multiplicando tudo, temos:
4 (1 - pi4) cdot pi = 4pi - pi^2
Então, o valor final da integral é $ 4\pi - \pi^2 $.

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