Evaluating Polar Integrals
In Exercises 1-16, change the Cartesian integral into an equivalent polar integral. Then evaluate the polar integral.
In Exercises 1-16, change the Cartesian integral into an equivalent polar integral. Then evaluate the polar integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma integral dupla em coordenadas cartesianas para coordenadas polares e, depois, avaliar essa integral. A integral dada é:
Aqui, estamos lidando com cálculo em coordenadas cartesianas e vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares, que são super úteis quando lidamos com regiões circulares ou funções envolvendo $ \sqrt{x^2 + y^2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. As integrais vão de $ y = -1 $ a $ y = 1 $ e, para cada $ y $, $ x $ vai de $ -\sqrt{1 - y^2} $ até $ 0 $. Isso corresponde à metade esquerda do círculo unitário (já que $ x $ é negativo e $ \sqrt{1 - y^2} $ é o limite da circunferência).
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que:
O elemento de área $ dx , dy $ em coordenadas cartesianas se transforma em $ r , dr , d\theta $ em coordenadas polares.
Passo 4
Vamos também converter os limites de integração. Como estamos na metade esquerda do círculo unitário:
- O raio $ r $ varia de $ 0 $ a $ 1 $ (o raio do círculo unitário).
- O ângulo $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \frac{3\pi}{2} $ (para cobrir a metade esquerda do círculo).
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Simplificando, fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em $ r $. Observamos que:
Então, a integral em $ r $ fica:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
A integral em $ \theta $ é simplesmente:
Resposta
Multiplicando tudo, temos:
Então, o valor final da integral é $ 4\pi - \pi^2 $.