Um evaporador de efeito único deve ser usado para concentrar uma solução alimentar contendo 15 \% (em massa) de sólidos dissolvidos para 50 \% de sólidos. A corrente de alimentação entra no evaporador a 291 K com uma vazão de alimentação de 1,0 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1}. O vapor está disponível a uma pressão de 2,4 bar e uma pressão absoluta de 0,07 bar é mantida no evaporador. Supondo que as propriedades da solução sejam as mesmas da água, e considerando o coeficiente total de transferência de calor como 2300 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}, calcule a vazão de vapor e a área de superfície de transferência de calor necessária.
Resp: V=0.7 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1} ; A=8.86 \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a vazão de vapor gerado (que sai do evaporador) e a área de troca térmica necessária. Dados relevantes fornecidos:
\dot m_F = 1{,}0\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}\quad\text{(vazão da alimentação)}ãçã
\text{solidos na alimentação} = 15\%\\ \text{(em massa)}çã
\text{solidos no produto} = 50\%\\ \text{(em massa)}
P_{\text{vapor disponível}} = 2{,}4\\ \mathrm{bar}í
P_{\text{evaporador}} = 0{,}07\\ \mathrm{bar}
U = 2300\\ \mathrm{W\\ m^{-2}\\ K^{-1}}
Pressuposto: propriedades da solução iguais às da água.
A estratégia será: (i) massa de sólidos conserva → encontrar vazão do produto e, portanto, a vazão de vapor evaporado; (ii) balanço de energia para achar a potência necessária Q usando o calor latente à pressão do evaporador; (iii) usar Q = U A \Delta T (diferença de temperatura entre vapor a 2,4 bar e ebulição na pressão 0,07 bar) para obter a área A.

Passo 2

Conservação de massa dos sólidos dissolvidos (não se perde sólido):
massa de sólidos na alimentação = massa de sólidos no produto.
Calcule a massa de sólidos na alimentação:
\dot m_{\text{sol}} = \dot m_F \times 0{,}15 = 1{,}0\times0{,}15 = 0{,}15\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
Seja \dot m_P a vazão do produto (solução concentrada). Como o produto tem 50\% em massa de sólidos:
\dot m_{\text{sol}} = 0{,}50\\ \dot m_P \quad\Rightarrow\quad \dot m_P = \frac{\dot m_{\text{sol}}}{0{,}50} = \frac{0{,}15}{0{,}50} = 0{,}30\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
A vazão de vapor evaporado \dot V é a diferença entre alimentação e produto:
\dot V = \dot m_F - \dot m_P = 1{,}0 - 0{,}30 = 0{,}70\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
(Pronto: a vazão de vapor é \dot V=0{,}7\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.)

Passo 3

Agora a energia: para evaporar \dot V de água precisamos fornecer a potência
Q = \dot V \,\lambda_{\text{evap}}
onde \lambda_{\text{evap}} é o calor latente de vaporização à pressão do evaporador P_{\text{evap}}=0{,}07\\ \mathrm{bar}. Explicando o conceito: o calor latente \lambda é a energia necessária para converter 1 kg de líquido saturado em vapor saturado à mesma pressão, sem variação de temperatura — é o termo dominante no balanço térmico de um evaporador.
Usamos valores de tabela de vapor (steam tables). Tomando valores aproximados das tabelas:
\text{para }P_{\text{vapor}}=2{,}4\\ \mathrm{bar}:\\ T_{\text{s,steam}} \approx 127{,}4^\circ\mathrm{C}
\text{para }P_{\text{evap}}=0{,}07\\ \mathrm{bar}:\\ T_{\text{b,evap}} \approx 43{,}0^\circ\mathrm{C},\quad \lambda_{\text{evap}} \approx 2{,}457\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}}.
Observação pedagógica: eu expressei temperatura em °C porque a diferença de temperatura em K ou °C é a mesma; o calor latente usei em J/kg. Os valores acima são tabelados (apresentei valores arredondados, típicos em exercícios de engenharia).

Passo 4

Calcule Q usando \dot V=0{,}70\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}} e \lambda_{\text{evap}}=2{,}457\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}}:
Q = \dot V\,\lambda_{\text{evap}} = 0{,}70\times 2{,}457\times10^{3} = 1{,}719{,}9\times10^{6}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: precisamos de aproximadamente 1{,}72\\ \mathrm{MW} de potência térmica para evaporar 0{,}7\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Agora a área por transmissão de calor. A equação de transferência de calor global é
Q = U\,A\,\Delta T,
onde U é o coeficiente global (dado), A é a área que queremos e \Delta T é a diferença de temperatura entre o vapor (condensando) e o líquido em ebulição. Aqui o vapor condensa à temperatura de saturação correspondente a 2{,}4\\ \mathrm{bar} (praticamente temperatura constante do lado do vapor) e a solução ferve à temperatura de saturação correspondente a 0{,}07\\ \mathrm{bar} (também praticamente constante). Logo não é preciso usar LMTD complexo: a diferença é praticamente constante:
\Delta T = T_{\text{s,steam}} - T_{\text{b,evap}} = 127{,}4^\circ\mathrm{C} - 43{,}0^\circ\mathrm{C} = 84{,}4\\ \mathrm{K}.
(Explicando: diferenças em °C e K são numericamente iguais, por isso usei K no cálculo.)

Passo 6

Isolando A:
A = \frac{Q}{U\,\Delta T} = \frac{1{,}719{,}9\times10^{6}}{2300\times 84{,}4} .
Calculemos:
U\,\Delta T = 2300\times 84{,}4 = 194{,}120\\ \mathrm{W\\ m^{-2}}.
A = \frac{1{,}719{,}9\times10^{6}}{194{,}120} \approx 8{,}865\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando razoavelmente obtemos A \approx 8{,}86\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (pra você fixar e usar na prova):
  • Faça sempre primeiro o balanço de massa dos sólidos para achar a vazão de produto e, daí, a vazão de vapor evaporado.
  • Para potência use Q=\dot V\lambda com \lambda à pressão do evaporador (tabelas).
  • Para área use Q=U A \Delta T; se os dois lados estão em saturação a temperaturas praticamente constantes, \Delta T é simplesmente a diferença das temperaturas de saturação (não precisa LMTD complicado).
    Vai dar certo na prova — já fizemos as contas passo a passo, devagarinho.

Resposta

V=0,7\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}
A=8,86\\ \mathrm{m^{2}}

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