Evento A a partir dos dados de vazões: 8.000 a 12.000 m^3 / s, Pr[A]=0,5
Evento B a partir dos dados de chuva: 10.000 a 15.000 m^3 / s, Pr[B]=0,6
Evento C=A+B :
8.000 a 15.000 m^3 / s, Pr[C]=0,9
determine a probabilidade condicionada Pr[A mid B] e Pr[B mid A]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem dois eventos, A e B, com suas respectivas vazões e probabilidades:
  • Evento A: Vazões de 8.000 a 12.000 m³/s, com probabilidade $ \operatorname{Pr}[A] = 0,5 $.
  • Evento B: Vazões de 10.000 a 15.000 m³/s, com probabilidade $ \operatorname{Pr}[B] = 0,6 $.
Além disso, temos o Evento C, que é a união de A e B ($ C = A \cup B $), englobando vazões de 8.000 a 15.000 m³/s, com probabilidade $ \operatorname{Pr}[C] = 0,9 $.
A gente precisa determinar duas probabilidades condicionadas:
  1. $ \operatorname{Pr}[A \mid B] $: Probabilidade de A ocorrer dado que B já ocorreu.
  2. $ \operatorname{Pr}[B \mid A] $: Probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e a fórmula da união de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da probabilidade condicional, que nos diz a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu. A fórmula é:
Pr[A mid B] = Pr[A cap B]Pr[B]
E analogamente para $ \operatorname{Pr}[B \mid A] $:
Pr[B mid A]
Aqui, $ \operatorname{Pr}[A \cap B] $ é a probabilidade de ambos os eventos A e B ocorrerem simultaneamente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ \operatorname{Pr}[A \cap B] $. Para isso, vamos usar a fórmula da união de dois eventos:
Pr[A cap B]
Sabemos que $ \operatorname{Pr}[A \cup B] = \operatorname{Pr}[C] = 0,9 $. Vamos substituir os valores que conhecemos:
Pr[A cup B] = Pr[A] + Pr[B] - Pr[A cap B]

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ \operatorname{Pr}[A \cap B] $:
Pr[A cap B]
Subtraindo 1,1 de ambos os lados:
0,9 = 1,1 - Pr[A cap B]
0,9 - 1,1 = - Pr[A cap B]
Multiplicando ambos os lados por -1:
-0,2 = - Pr[A cap B]
Então, $ \operatorname{Pr}[A \cap B] = 0,2 $.

Passo 5

Agora que temos $ \operatorname{Pr}[A \cap B] = 0,2 $, podemos usar as fórmulas de probabilidade condicional que mencionamos no Passo 2.
Primeiro, para $ \operatorname{Pr}[A \mid B] $:
Pr[A cap B] = 0,2
Segundo, para $ \operatorname{Pr}[B \mid A] $:
Pr[A mid B]

Resposta

A probabilidade condicionada $ \operatorname{Pr}[A \mid B] $ é aproximadamente 0,333 e $ \operatorname{Pr}[B \mid A] $ é 0,4.

Exercícios relacionados