Três pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, dessa população. Qual é a probabilidade de:
i. Apenas uma ser daltônica;
i. Apenas uma ser daltônica;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pessoas sendo escolhidas de um grupo, com reposição, ou seja, cada vez que escolhe, a pessoa volta pro grupo. A questão quer saber qual é a probabilidade de apenas uma dessas três pessoas ser daltônica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que ajuda a calcular a chance de eventos específicos acontecerem em várias tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas coisas. Seja $ p $ a probabilidade de uma pessoa qualquer ser daltônica. Então, a probabilidade de uma pessoa não ser daltônica é $ q = 1 - p $.
Passo 3
Agora, queremos que exatamente uma das três pessoas escolhidas seja daltônica. Isso significa que uma pessoa é daltônica e as outras duas não são.
Passo 4
Vamos pensar em como calcular essa probabilidade. Para uma sequência específica (por exemplo, a primeira pessoa é daltônica e as outras duas não são), a probabilidade disso acontecer é:
Isso porque a primeira pessoa tem probabilidade $ p $ de ser daltônica, e as outras duas têm cada uma probabilidade $ q $ de não serem.
Passo 5
Mas atenção! A pessoa que é daltônica pode ser a primeira, a segunda ou a terceira. Então, temos 3 diferentes maneiras de isso acontecer. Portanto, multiplicamos a probabilidade da sequência específica por 3:
Resposta
A probabilidade de apenas uma das três pessoas selecionadas ser daltônica é:
ou seja, $ 3pq^2 $.