O efluente de um indústria requer um tratamento antes de ser lançado no mar. Este processo consiste de três estágios em seqüência. Simplificando, define-se estes estágios de tratamento primário, secundário e terciário. O resultado de cada estágio pode ser classificado como insatisfatório, incompleto ou satisfatório. Foi denominado de Ak o evento que o k-ésimo estágio do processo de tratamento é insatisfatório, de Bk o evento que é incompleto e de Ck o evento que é satisfatório. As probabilidades associadas são apresentadas a seguir:
Pr[Ak] Pr[Bk] Pr[Ck]
Primário k=1 0,1 0,3 0,6
Secundário k=2 0,2 0,3 0,5
Terciário k=3 0,1 0,5 0,4
Considere que os três estágios do processo são estocasticamente independentes. O tratamento do efluente é considerado satisfatório se nenhum dos três estágios for considerado insatisfatório, e que pelo menos dois destes estágios sejam satisfatórios. Qual é a sua probabilidade ?

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão primeiro! Temos uma indústria que precisa tratar o efluente antes de jogá-lo no mar. Esse tratamento passa por três estágios: primário, secundário e terciário. Cada estágio pode dar três resultados: insatisfatório, incompleto ou satisfatório, com certas probabilidades para cada resultado.
Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que o tratamento todo seja satisfatório. Para isso, precisamos garantir que:
  1. Nenhum dos três estágios seja insatisfatório.
  2. Pelo menos dois dos três estágios sejam satisfatórios.
Vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente a probabilidade de eventos independentes, já que os estágios são estocasticamente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as probabilidades fornecidas para cada estágio:
Primário (k=1):
  • Insatisfatório (A₁): 0,1
  • Incompleto (B₁): 0,3
  • Satisfatório (C₁): 0,6
Secundário (k=2):
  • Insatisfatório (A₂): 0,2
  • Incompleto (B₂): 0,3
  • Satisfatório (C₂): 0,5
Terciário (k=3):
  • Insatisfatório (A₃): 0,1
  • Incompleto (B₃): 0,5
  • Satisfatório (C₃): 0,4

Passo 3

Como a primeira condição é que nenhum estágio seja insatisfatório, precisamos calcular a probabilidade de cada estágio não ser insatisfatório. Isso é simplesmente 1 menos a probabilidade de ser insatisfatório.
Então:
  • Probabilidade Primário não insatisfatório: 1 - 0,1 = 0,9
  • Probabilidade Secundário não insatisfatório: 1 - 0,2 = 0,8
  • Probabilidade Terciário não insatisfatório: 1 - 0,1 = 0,9

Passo 4

Agora, a segunda condição é que pelo menos dois estágios sejam satisfatórios. Como já garantimos que nenhum é insatisfatório, vamos focar em quantos são satisfatórios.
As possibilidades para pelo menos dois satisfatórios são:
  1. Exatamente dois satisfatórios.
  2. Todos os três satisfatórios.
Vamos calcular essas duas situações separadamente e depois somar as probabilidades.

Passo 5

Caso 1: Exatamente dois estágios satisfatórios
Há três combinações possíveis para isso:
  • Primário e Secundário satisfatórios, Terciário não.
  • Primário e Terciário satisfatórios, Secundário não.
  • Secundário e Terciário satisfatórios, Primário não.
Vamos calcular cada uma:
  1. Primário e Secundário satisfatórios, Terciário não:
    • Pr(C₁) * Pr(C₂) * (1 - Pr(C₃))
    • 0,6 * 0,5 * (1 - 0,4) = 0,6 * 0,5 * 0,6 = 0,18
  2. Primário e Terciário satisfatórios, Secundário não:
    • Pr(C₁) * (1 - Pr(C₂)) * Pr(C₃)
    • 0,6 * (1 - 0,5) * 0,4 = 0,6 * 0,5 * 0,4 = 0,12
  3. Secundário e Terciário satisfatórios, Primário não:
    • (1 - Pr(C₁)) * Pr(C₂) * Pr(C₃)
    • (1 - 0,6) * 0,5 * 0,4 = 0,4 * 0,5 * 0,4 = 0,08
Somando esses três casos: 0,18 + 0,12 + 0,08 = 0,38

Passo 6

Caso 2: Todos os três estágios satisfatórios
Isso significa que Primário, Secundário e Terciário são todos satisfatórios.
  • Pr(C₁) * Pr(C₂) * Pr(C₃)
  • 0,6 * 0,5 * 0,4 = 0,12

Passo 7

Agora, somamos as probabilidades dos dois casos para obter a probabilidade total de pelo menos dois estágios serem satisfatórios:
  • Probabilidade total = Probabilidade de exatamente dois satisfatórios + Probabilidade de todos satisfatórios
  • 0,38 + 0,12 = 0,50

Resposta

A probabilidade de o tratamento do efluente ser satisfatório é 50%.

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