O efluente de um indústria requer um tratamento antes de ser lançado no mar. Este processo consiste de três estágios em seqüência. Simplificando, define-se estes estágios de tratamento primário, secundário e terciário. O resultado de cada estágio pode ser classificado como insatisfatório, incompleto ou satisfatório. Foi denominado de
o evento que o k-ésimo estágio do processo de tratamento é insatisfatório, de
o evento que é incompleto e de
o evento que é satisfatório. As probabilidades associadas são apresentadas a seguir:
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Primário |
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0,1 | 0,3 | 0,6 |
Secundário |
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0,2 | 0,3 | 0,5 |
Terciário |
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0,1 | 0,5 | 0,4 |
Considere que os três estágios do processo são estocasticamente independentes. O tratamento do efluente é considerado satisfatório se nenhum dos três estágios for considerado insatisfatório, e que pelo menos dois destes estágios sejam satisfatórios. Qual é a sua probabilidade ?
Passo 1
Beleza, vamos entender a questão primeiro! Temos uma indústria que precisa tratar o efluente antes de jogá-lo no mar. Esse tratamento passa por três estágios: primário, secundário e terciário. Cada estágio pode dar três resultados: insatisfatório, incompleto ou satisfatório, com certas probabilidades para cada resultado.
Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que o tratamento todo seja satisfatório. Para isso, precisamos garantir que:
- Nenhum dos três estágios seja insatisfatório.
- Pelo menos dois dos três estágios sejam satisfatórios.
Vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente a probabilidade de eventos independentes, já que os estágios são estocasticamente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as probabilidades fornecidas para cada estágio:
Primário (k=1):
- Insatisfatório (A₁): 0,1
- Incompleto (B₁): 0,3
- Satisfatório (C₁): 0,6
Secundário (k=2):
- Insatisfatório (A₂): 0,2
- Incompleto (B₂): 0,3
- Satisfatório (C₂): 0,5
Terciário (k=3):
- Insatisfatório (A₃): 0,1
- Incompleto (B₃): 0,5
- Satisfatório (C₃): 0,4
Passo 3
Como a primeira condição é que nenhum estágio seja insatisfatório, precisamos calcular a probabilidade de cada estágio não ser insatisfatório. Isso é simplesmente 1 menos a probabilidade de ser insatisfatório.
Então:
- Probabilidade Primário não insatisfatório: 1 - 0,1 = 0,9
- Probabilidade Secundário não insatisfatório: 1 - 0,2 = 0,8
- Probabilidade Terciário não insatisfatório: 1 - 0,1 = 0,9
Passo 4
Agora, a segunda condição é que pelo menos dois estágios sejam satisfatórios. Como já garantimos que nenhum é insatisfatório, vamos focar em quantos são satisfatórios.
As possibilidades para pelo menos dois satisfatórios são:
- Exatamente dois satisfatórios.
- Todos os três satisfatórios.
Vamos calcular essas duas situações separadamente e depois somar as probabilidades.
Passo 5
Caso 1: Exatamente dois estágios satisfatórios
Há três combinações possíveis para isso:
- Primário e Secundário satisfatórios, Terciário não.
- Primário e Terciário satisfatórios, Secundário não.
- Secundário e Terciário satisfatórios, Primário não.
Vamos calcular cada uma:
-
Primário e Secundário satisfatórios, Terciário não:
- Pr(C₁) * Pr(C₂) * (1 - Pr(C₃))
- 0,6 * 0,5 * (1 - 0,4) = 0,6 * 0,5 * 0,6 = 0,18
-
Primário e Terciário satisfatórios, Secundário não:
- Pr(C₁) * (1 - Pr(C₂)) * Pr(C₃)
- 0,6 * (1 - 0,5) * 0,4 = 0,6 * 0,5 * 0,4 = 0,12
-
Secundário e Terciário satisfatórios, Primário não:
- (1 - Pr(C₁)) * Pr(C₂) * Pr(C₃)
- (1 - 0,6) * 0,5 * 0,4 = 0,4 * 0,5 * 0,4 = 0,08
Somando esses três casos: 0,18 + 0,12 + 0,08 = 0,38
Passo 6
Caso 2: Todos os três estágios satisfatórios
Isso significa que Primário, Secundário e Terciário são todos satisfatórios.
- Pr(C₁) * Pr(C₂) * Pr(C₃)
- 0,6 * 0,5 * 0,4 = 0,12
Passo 7
Agora, somamos as probabilidades dos dois casos para obter a probabilidade total de pelo menos dois estágios serem satisfatórios:
- Probabilidade total = Probabilidade de exatamente dois satisfatórios + Probabilidade de todos satisfatórios
- 0,38 + 0,12 = 0,50
Resposta
A probabilidade de o tratamento do efluente ser satisfatório é 50%.