Um reservatório foi implantado para fornecer água para três áreas de irrigação I1, I2 e I3. A demanda para a primeira área é 0 ou 1 ou 2 m^3 / s, enquanto para I2 e I3 é 0 ou 2 ou 4 m^3 / s em cada caso.
Considerando que as demandas das três áreas são indenpendentes entre si e que todas as demandas são igualmente prováveis determine a probabilidade que a demanda total exceda 5 m^3 / s.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um reservatório que fornece água para três áreas de irrigação: I1, I2 e I3. As demandas de água para cada área são:
  • I1: 0, 1 ou 2 m^3/s
  • I2 e I3: cada uma pode ter 0, 2 ou 4 m^3/s
As demandas são independentes e todas igualmente prováveis. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que a demanda total das três áreas supere 5 m^3/s. Para isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade combinatória e soma de possibilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações de demandas para as três áreas. Como cada uma tem 3 opções de demanda, o total de combinações é 3 times 3 times 3 = 27 possibilidades.
As possíveis demandas para cada área são:
  • I1: 0, 1, 2
  • I2: 0, 2, 4
  • I3: 0, 2, 4
Vamos listar todas essas combinações e calcular a soma das demandas para cada caso.

Passo 3

Vamos organizar as combinações de demandas e suas somas:
  1. (0, 0, 0): 0 + 0 + 0 = 0
  2. (0, 0, 2): 0 + 0 + 2 = 2
  3. (0, 0, 4): 0 + 0 + 4 = 4
  4. (0, 2, 0): 0 + 2 + 0 = 2
  5. (0, 2, 2): 0 + 2 + 2 = 4
  6. (0, 2, 4): 0 + 2 + 4 = 6
  7. (0, 4, 0): 0 + 4 + 0 = 4
  8. (0, 4, 2): 0 + 4 + 2 = 6
  9. (0, 4, 4): 0 + 4 + 4 = 8
  10. (1, 0, 0): 1 + 0 + 0 = 1
  11. (1, 0, 2): 1 + 0 + 2 = 3
  12. (1, 0, 4): 1 + 0 + 4 = 5
  13. (1, 2, 0): 1 + 2 + 0 = 3
  14. (1, 2, 2): 1 + 2 + 2 = 5
  15. (1, 2, 4): 1 + 2 + 4 = 7
  16. (1, 4, 0): 1 + 4 + 0 = 5
  17. (1, 4, 2): 1 + 4 + 2 = 7
  18. (1, 4, 4): 1 + 4 + 4 = 9
  19. (2, 0, 0): 2 + 0 + 0 = 2
  20. (2, 0, 2): 2 + 0 + 2 = 4
  21. (2, 0, 4): 2 + 0 + 4 = 6
  22. (2, 2, 0): 2 + 2 + 0 = 4
  23. (2, 2, 2): 2 + 2 + 2 = 6
  24. (2, 2, 4): 2 + 2 + 4 = 8
  25. (2, 4, 0): 2 + 4 + 0 = 6
  26. (2, 4, 2): 2 + 4 + 2 = 8
  27. (2, 4, 4): 2 + 4 + 4 = 10

Passo 4

Agora, vamos identificar quais dessas combinações têm uma soma que excede 5 m^3/s. Observando as somas:
  • 6, 6, 8, 6, 7, 7, 9, 6, 6, 8, 6, 8, 10
Contando, temos 13 combinações que excedem 5 m^3/s.

Passo 5

A probabilidade de um evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis. Aqui, temos 13 casos favoráveis e um total de 27 possibilidades.
Então, a probabilidade é:
P(Demanda total > 5) = 1327 approx 0,4815 ou 48,15%

Resposta

A probabilidade de que a demanda total exceda 5 m^3/s é de aproximadamente 48,15%.

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