Se os eventos aleatórios A e B são mutuamente exclusivos, é correto afirmar que Ac e Bc também são mutuamente exclusivos? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois eventos
e
tais que
isto é, são mutuamente exclusivos. A questão é saber se os complementos desses eventos,
e
, também satisfazem
O conteúdo usado aqui é teoria de conjuntos aplicada a probabilidade, em particular as Leis de De Morgan.
Passo 2
Lembremos da definição de complementos e das Leis de De Morgan para conjuntos:
e
Isso significa que o conjunto de pontos que não estão nem em
nem em
é justamente o complemento da união
.
Passo 3
Para que
e
sejam mutuamente exclusivos, precisaríamos ter
ou seja,
Mas
ocorre se, e somente se,
, o espaço amostral inteiro.
Passo 4
O fato de
não implica que
.
Por exemplo, em um lançamento de dado justo, seja
Por exemplo, em um lançamento de dado justo, seja
Então
, mas
e
Logo
e
não são mutuamente exclusivos neste caso.
Passo 5
Conclusão: em geral, se
e
são mutuamente exclusivos (
), não se garante que
e
também sejam mutuamente exclusivos, exceto no caso especial em que
.
Resposta
Não. De modo geral
só é vazio se
, condição que não decorre apenas de
.