Se os eventos aleatórios A e B são mutuamente exclusivos, é correto afirmar que Ac e Bc também são mutuamente exclusivos? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois eventos A e B tais que
Acap B = emptyset,
isto é, são mutuamente exclusivos. A questão é saber se os complementos desses eventos, A^c e B^c, também satisfazem
A^c cap B^c = emptyset
O conteúdo usado aqui é teoria de conjuntos aplicada a probabilidade, em particular as Leis de De Morgan.

Passo 2

Lembremos da definição de complementos e das Leis de De Morgan para conjuntos:
A^c = Ssetminus A, B^c = Ssetminus B,
e
A^c cap B^c = (A cup B)^c
Isso significa que o conjunto de pontos que não estão nem em A nem em B é justamente o complemento da união A cup B.

Passo 3

Para que A^c e B^c sejam mutuamente exclusivos, precisaríamos ter
A^c cap B^c = emptyset,
ou seja,
(A cup B)^c = emptyset
Mas (A cup B)^c = emptyset ocorre se, e somente se, Acup B = S, o espaço amostral inteiro.

Passo 4

O fato de Acap B=emptyset não implica que Acup B=S.
Por exemplo, em um lançamento de dado justo, seja
S=1,2,3,4,5,6, A=1, B=2
Então Acap B=emptyset, mas
A^c=2,3,4,5,6, B^c=1,3,4,5,6,
e
A^ccap B^c=3,4,5,6neqemptyset
Logo A^c e B^c não são mutuamente exclusivos neste caso.

Passo 5

Conclusão: em geral, se A e B são mutuamente exclusivos ( Acap B=emptyset), não se garante que A^c e B^c também sejam mutuamente exclusivos, exceto no caso especial em que Acup B=S.

Resposta

Não. De modo geral
A^ccap B^c=(Acup B)^c
só é vazio se Acup B=S, condição que não decorre apenas de Acap B=emptyset.

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