Suponha que A seja um evento tal que P(A)=0 e que B é qualquer outro evento. Demonstre que A e B são eventos independentes.

Passo 1

O enunciado diz que A é um evento com P(A)=0 e que B é um evento qualquer. O conteúdo aqui é definição de independência de dois eventos: por definição, A e B são independentes se e somente se
P(A cap B) ;=;P(A),P(B)

Passo 2

Observamos que A cap B subseteq A. Pela propriedade de monotonicidade da probabilidade, isso implica
P(A cap B);<=;P(A)
Mas como P(A)=0, segue que
P(A cap B)=0

Passo 3

Como P(A)=0, temos também
P(A),P(B)=0cdot P(B)=0
Portanto
P(A cap B)=0=P(A),P(B),
que é exatamente a condição de independência.

Resposta

A e B são independentes.

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