Suponha que todas as probabilidades envolvidas sejam não nulas. Prove que
P(A / C)=P(A / B cap C) cdot P(B / C)+P(A / B^c cap C) cdot P(B^c / C)

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra provar que
P(Amid C)=P(Amid Bcap C),P(Bmid C)+Pl(Amid B^ccap Cr),Pl(B^cmid Cr),
sabendo que todas as probabilidades são não nulas. Isso faz parte de probabilidade condicional e da ideia de “lei da probabilidade total” dentro de um evento P(Xmid Y)=P(Xcap Y)P(Y), . A gente vai precisar da definição
e também de escrever como a união disjunta de e .

Passo 2

Primeiro, lembro a definição de probabilidade condicional:
P(Amid C)=P(Acap C)P(C)
Então, se a gente consegue expressar de um jeito que apareça e , depois é só dividir tudo por .

Passo 3

Note que
Acap C = Acap Ccapl(Bcup B^cr),
porque Acap C = (Acap Ccap B);cup;(Acap Ccap B^c) é todo o espaço amostral. Como interseção distribui sobre união,
E essas duas partes são disjuntas, pois e não têm pontos em comum.

Passo 4

Como são disjuntas, a probabilidade soma:
P(Acap C) = P(Acap Bcap C) ;+; P(Acap B^ccap C)

Passo 5

Agora dividimos essa soma inteira por P(Amid C) =P(Acap Bcap C)P(C) ;+;P(Acap B^ccap C)P(C) , usando a definição de condicional:

Passo 6

Cada termo pode ser reescrito assim:
P(Acap Bcap C)P(C) = P(Acap Bcap C)P(Bcap C);cdot;P(Bcap C)P(C) = P(Amid Bcap C);P(Bmid C),
pois
P(Amid Bcap C)=P(Acap Bcap C)P(Bcap C), P(Bmid C)=P(Bcap C)P(C)
Do mesmo jeito,
P(Acap B^ccap C)P(C) = Pl(Amid B^ccap Cr);Pl(B^cmid Cr)

Resposta

Juntando tudo, a gente chega em
[
\boxed{%
P(A\mid C)
= P(A\mid B\cap C),P(B\mid C)
+P\bigl(A\mid B^c\cap C\bigr),P\bigl(B^c\mid C\bigr).
}$$

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