Suponha que todas as probabilidades envolvidas sejam não nulas. Prove que
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra provar que
sabendo que todas as probabilidades são não nulas. Isso faz parte de probabilidade condicional e da ideia de “lei da probabilidade total” dentro de um evento
. A gente vai precisar da definição
e também de escrever
como a união disjunta de
e
.
Passo 2
Primeiro, lembro a definição de probabilidade condicional:
Então, se a gente consegue expressar
de um jeito que apareça
e
, depois é só dividir tudo por
.
Passo 3
Note que
porque
é todo o espaço amostral. Como interseção distribui sobre união,
E essas duas partes são disjuntas, pois
e
não têm pontos em comum.
Passo 4
Como são disjuntas, a probabilidade soma:
Passo 5
Agora dividimos essa soma inteira por
, usando a definição de condicional:
Passo 6
Cada termo pode ser reescrito assim:
pois
Do mesmo jeito,
Resposta
Juntando tudo, a gente chega em
[
\boxed{%
P(A\mid C)
= P(A\mid B\cap C),P(B\mid C)
+P\bigl(A\mid B^c\cap C\bigr),P\bigl(B^c\mid C\bigr).
\boxed{%
P(A\mid C)
= P(A\mid B\cap C),P(B\mid C)
+P\bigl(A\mid B^c\cap C\bigr),P\bigl(B^c\mid C\bigr).
}$$