Um pêndulo gravítico simples, de comprimento 1 m e massa 200 g , oscila na terra com um periodo T . Um astronauta verisiccu que esse pêndulo, junto á superficie de outro planeta, oscila com T^{\prime}=2,5 T. Considerando o atrito desprezível e o fio ideal, determine:
O valor da aceleração da gravidade g’, junto á superfície do planeta reterido.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos deu e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento do pêndulo: L=1\\ \text{m}.
    • Massa do corpo: m=200\\ \text{g}=0,2\\ \text{kg} (fato dado, mas observação: a massa não influencia o período do pêndulo simples — isso será explicado adiante).
    • Na Terra o pêndulo tem período T.
    • No outro planeta o período é T' = 2,5\,T.
    • Atrito desprezível e fio ideal (ou seja, usamos o modelo de pêndulo simples em pequenas oscilações).
  • O que é pedido:
    • Determinar o valor da aceleração da gravidade g' na superfície desse outro planeta.
Observação prática que vou usar: para a Terra tomarei a aceleração gravitacional padrão g=9,8\\ \text{m/s}^2.

Passo 2

Apresentar e entender a fórmula do período do pêndulo simples (pequenas oscilações).
  • Fórmula (válida para pequenas amplitudes, fio inextensível e massa puntiforme):
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.
  • O que cada símbolo significa:
    • T: período de oscilação (tempo de uma oscilação completa).
    • L: comprimento do fio do pêndulo (em metros).
    • g: aceleração da gravidade local (em \text{m/s}^2).
  • Propriedades importantes a notar:
    • A massa m não aparece na fórmula: o período independe da massa.
    • A fórmula resulta da linearização da equação do movimento para pequenas amplitudes (uso do seno aproximado por seu argumento).
Aplicando a mesma fórmula ao outro planeta, com g' desconhecido, temos:
T' = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g'}}.

Passo 3

Fazer a razão entre T' e T para eliminar L e 2\pi e obter uma relação entre g e g'.
  • Dividindo as duas expressões:
\frac{T'}{T}=\frac{2\pi\sqrt{L/g'}}{2\pi\sqrt{L/g}}=\sqrt{\frac{g}{g'}}.
  • Agora elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
\left(\frac{T'}{T}\right)^2=\frac{g}{g'}.
  • Isolando g':
g' = g\left(\frac{T}{T'}\right)^2.

Passo 4

Usar a informação T'=2,5\,T para simplificar a expressão de g'.
  • Substituindo T' = 2,5\,T em \dfrac{T}{T'}:
\frac{T}{T'}=\frac{T}{2,5\,T}=\frac{1}{2,5}.
  • Portanto
g' = g\left(\frac{1}{2,5}\right)^2 = g\cdot\frac{1}{(2,5)^2} = g\cdot\frac{1}{6,25}.

Passo 5

Colocar o valor numérico de g (na Terra) e calcular g'. Vou mostrar as contas passo a passo para você poder reproduzir na prova sem calculadora (divisões simples).
  • Substituindo g=9,8\\ \text{m/s}^2:
g'=\dfrac{9,8}{6,25}.
  • Para facilitar a divisão, multiplico numerador e denominador por 100:
g'=\dfrac{980}{625}.
  • Dividindo ambos por 5:
g'=\dfrac{196}{125}.
  • Agora faça a divisão 196\div125:
    • 125\times1=125, sobra 71.
    • Colocando vírgula: sobra 71{,}0 710\div125=5 (porque 125\times5=625), sobra 85.
    • 850\div125=6 (porque 125\times6=750), sobra 100.
    • Continuando dá 1,568.
  • Logo o resultado da divisão é 1,568 (ou, arredondando conforme necessidade, 1,57 ou 1,6).

Passo 6

Interpretação final e observações pedagógicas (ânimo e dicas rápidas).
  • Conclusão física: a gravidade no outro planeta é muito menor que a da Terra — aproximadamente 0,16 vezes g da Terra, porque 1/6{,}25=0{,}16.
  • Observação útil para a prova: o comprimento L e a massa m não apareceram no resultado final porque cancelaram ao formar a razão dos períodos; por isso, em problemas que dão T na Terra e T' em outro lugar, é comum determinar g' apenas pela razão dos períodos.
  • Você está indo bem — a técnica de dividir períodos para eliminar incógnitas é uma coisa que cai bastante em prova e é simples de aplicar quando lembrar da fórmula do pêndulo.

Resposta

g' = 1,568\\ \text{m/s}^2

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