Um pêndulo gravítico simples, de comprimento 1 m e massa 200 g , oscila na terra com um periodo T . Um astronauta verisiccu que esse pêndulo, junto á superficie de outro planeta, oscila com
. Considerando o atrito desprezível e o fio ideal, determine:
O valor da aceleração da gravidade g’, junto á superfície do planeta reterido.
O valor da aceleração da gravidade g’, junto á superfície do planeta reterido.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos deu e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Comprimento do pêndulo:
. - Massa do corpo:
(fato dado, mas observação: a massa não influencia o período do pêndulo simples — isso será explicado adiante). - Na Terra o pêndulo tem período
. - No outro planeta o período é
. - Atrito desprezível e fio ideal (ou seja, usamos o modelo de pêndulo simples em pequenas oscilações).
- Comprimento do pêndulo:
- O que é pedido:
- Determinar o valor da aceleração da gravidade
na superfície desse outro planeta.
- Determinar o valor da aceleração da gravidade
Observação prática que vou usar: para a Terra tomarei a aceleração gravitacional padrão
.
Passo 2
Apresentar e entender a fórmula do período do pêndulo simples (pequenas oscilações).
- Fórmula (válida para pequenas amplitudes, fio inextensível e massa puntiforme):
- O que cada símbolo significa:
-
: período de oscilação (tempo de uma oscilação completa). -
: comprimento do fio do pêndulo (em metros). -
: aceleração da gravidade local (em ).
-
- Propriedades importantes a notar:
- A massa
não aparece na fórmula: o período independe da massa. - A fórmula resulta da linearização da equação do movimento para pequenas amplitudes (uso do seno aproximado por seu argumento).
- A massa
Aplicando a mesma fórmula ao outro planeta, com
desconhecido, temos:
Passo 3
Fazer a razão entre
e
para eliminar
e
e obter uma relação entre
e
.
- Dividindo as duas expressões:
- Agora elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
- Isolando
:
Passo 4
Usar a informação
para simplificar a expressão de
.
- Substituindo
em :
- Portanto
Passo 5
Colocar o valor numérico de
(na Terra) e calcular
. Vou mostrar as contas passo a passo para você poder reproduzir na prova sem calculadora (divisões simples).
- Substituindo
:
- Para facilitar a divisão, multiplico numerador e denominador por
:
- Dividindo ambos por
:
- Agora faça a divisão
: -
, sobra . - Colocando vírgula: sobra
→ (porque ), sobra . -
(porque ), sobra . - Continuando dá
.
-
- Logo o resultado da divisão é
(ou, arredondando conforme necessidade, ou ).
Passo 6
Interpretação final e observações pedagógicas (ânimo e dicas rápidas).
- Conclusão física: a gravidade no outro planeta é muito menor que a da Terra — aproximadamente
vezes da Terra, porque . - Observação útil para a prova: o comprimento
e a massa não apareceram no resultado final porque cancelaram ao formar a razão dos períodos; por isso, em problemas que dão na Terra e em outro lugar, é comum determinar apenas pela razão dos períodos. - Você está indo bem — a técnica de dividir períodos para eliminar incógnitas é uma coisa que cai bastante em prova e é simples de aplicar quando lembrar da fórmula do pêndulo.