Ex. 01: Da carga Q que está presente em uma pequena esfera, uma fração alpha é transferida para uma segunda esfera. As esferas podem ser tratadas como partículas. (a) Para qual valor de alpha o módulo da força eletrostática F entre as duas esferas é o maior possível? Determine (b) o menor e (c) o maior valor de alpha para o qual F é igual à metade do valor máximo.
F=Q^2 alpha(1-alpha)4 pi varepsilon0 d^2
(a) alpha=1 / 2
(b) alpha=12(1 pm 1raiz2)

Passo 1

O enunciado dá a força eletrostática entre duas “partículas” carregadas com uma fração alpha de carga Q em cada uma, sendo
F(alpha)=Q^24pivarepsilon0d^2;alpha(1-alpha)
O objetivo é usar cálculo para (a) achar o valor de alpha que maximiza F e, depois, (b) e (c) determinar os valores de alpha tais que F seja metade do valor máximo.

Passo 2

Para maximizar F(alpha) vamos derivar em relação a alpha. Como a constante Q^24pivarepsilon0d^2 não afeta onde a derivada zera, basta derivar
f(alpha)=alpha(1-alpha)=alpha-alpha^2
Temos
f'(alpha)=1-2alpha,
e a condição de extremo é f'(alpha)=0Rightarrow1-2alpha=0, ou seja,
alpha=tfrac12
Como f''(alpha)=-2<0, esse ponto é de máximo. Logo, a resposta de (a) é
alpha=tfrac12

Passo 3

O valor máximo da força é
Fmax =Q^24pivarepsilon0d^2;tfrac12l(1-tfrac12r) =Q^24pivarepsilon0d^2;tfrac14 =Q^216pivarepsilon0d^2
Para achar alpha tais que F(alpha)=tfrac12Fmax, basta resolver
Q^24pivarepsilon0d^2;alpha(1-alpha) =12cdotQ^216pivarepsilon0d^2
que simplifica para
alpha(1-alpha)=tfrac18

Passo 4

A equação quadrática é
alpha-alpha^2=tfrac18 Longrightarrow alpha^2-alpha+tfrac18=0
O discriminante é
De<a=1-4cdot1cdottfrac18=1-tfrac12=tfrac12,
logo as raízes são
alpha=1pmraiztfrac122 =1pmtfrac1raiz22
Dessas, a menor corresponde a l(1-tfrac1raiz2r)/2 e a maior a l(1+tfrac1raiz2r)/2.

Resposta

(a) alpha=tfrac12
(b) alpha=dfrac1-tfrac1raiz22
(c) alpha=dfrac1+tfrac1raiz22

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