EX-01 Um fio condutor fino está disposto ao longo da reta definida pela equação \vec{r}=t \vec{i}+t^{2} \vec{j} conduz uma corrente de 1 A no sentido crescente da curva, sabendo que o campo magnético na região é \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=x \overrightarrow{\boldsymbol{j}}. Se os portadores de carga se deslocam 2 s ao longo fio. Calcule a força magnética total sobre o fio.

Passo 1

O enunciado descreve um fio fino disposto segundo a curva parametrizada por \vec r(t)=t\,\vec i+t^2\,\vec j, onde a corrente elétrica vale I=1 A no sentido de crescimento de t. O campo magnético na região é dado por \vec B(x,y,z)=x\,\vec j. Como os portadores de carga percorrem o fio durante 2 s, vamos integrar a força magnética desde t=0 até t=2 usando a expressão elementar
\mathrm d\vec F \;=\; I\,\mathrm d\vec r \times \vec B.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor deslocamento diferencial ao longo da curva. Como
\vec r(t)=t\,\vec i + t^2\,\vec j,
temos
\mathrm d\vec r = \frac{\mathrm d\vec r}{\mathrm dt}\,\mathrm dt = \bigl(\vec i + 2t\,\vec j\bigr)\,\mathrm dt.
O campo magnético avaliado na posição do filamento é
\vec B(t)=x\,\vec j = t\,\vec j.

Passo 3

Agora montamos o produto vetorial em cada ponto do fio:
\mathrm d\vec r \times \vec B = \bigl(\vec i + 2t\,\vec j\bigr)\,\mathrm dt \times \bigl(t\,\vec j\bigr).
Como \vec j\times\vec j=\vec0 e \vec i\times\vec j=\vec k, sobra
\mathrm d\vec r \times \vec B = t\,\mathrm dt\,(\vec i\times\vec j) = t\,\mathrm dt\,\vec k.

Passo 4

A força total sobre o segmento percorrido em 2 s é
\vec F = I\int_{0}^{2} \mathrm d\vec r \times \vec B = 1\cdot \int_{0}^{2} t\,\mathrm dt\,\vec k = \Bigl[\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{2}\,\vec k = 2\,\vec k.

Resposta

\displaystyle \vec F = 2\,\vec k N

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