Ex-04 Um fio condutor fino está disposto ao longo da reta definida pela equação \overrightarrow{\boldsymbol{r}}=t \overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+t^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}} conduz uma corrente de \mathbf{2} A no sentido crescente da curva, sabendo que o campo magnético na região é \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=x \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}. Se os portadores de carga se deslocam 1 s ao longo fio. Calcule a força magnética total sobre o fio.

Passo 1

O enunciado dá um fio descrito pela curva
\vec r(t)=t\,\hat{\mathbf i}+t^2\,\hat{\mathbf j}
percorrido por uma corrente I=2,A no sentido de t crescente, imerso num campo magnético \vec B=x\,\hat{\mathbf j}. Queremos a força magnética total
\vec F = I \int \mathrm{d}\vec\ell \times \vec B
ao longo do trecho que os portadores percorrem em 1,s. Assumimos que t varia de 0 a 1 nesse intervalo.

Passo 2

Calculamos o elemento de fio
\mathrm{d}\vec\ell = \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \bigl(1\,\hat{\mathbf i}+2t\,\hat{\mathbf j}\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

No ponto t, temos x=t e portanto \vec B = t\,\hat{\mathbf j}. O elemento de força é
\mathrm{d}\vec F = I\,\mathrm{d}\vec\ell \times \vec B = 2\bigl(1\,\hat{\mathbf i}+2t\,\hat{\mathbf j}\bigr)\times (t\,\hat{\mathbf j})\,\mathrm{d}t.
Fazendo o produto vetorial em coordenadas (i,j,k) só sobra a componente em k:
\mathrm{d}\vec F = 2\bigl(1\cdot t\bigr)\,\hat{\mathbf k}\,\mathrm{d}t = 2t\,\hat{\mathbf k}\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Integramos de t=0 até t=1:
\vec F = \int_{0}^{1}2t\,\hat{\mathbf k}\,\mathrm{d}t = 2\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{1}\hat{\mathbf k} =1\,\hat{\mathbf k}.

Resposta

\displaystyle \vec F = \hat{\mathbf k} (em newtons)

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