EX-02 Uma carga q=2 \mu C se move segundo a trajetória \overrightarrow{\boldsymbol{q}}(t)=\sin t \overrightarrow{\boldsymbol{i}}+\cos t \overrightarrow{\boldsymbol{j}}+t \overrightarrow{\boldsymbol{k}} (em m e t em s). Calcule o campo magnético \vec{B} no ponto P(0,0,1) m, no instante t=1 s.
(a) Calcule o vetor \vec{r};
(b) Calcule o vetor velocidade \vec{v};
(c) Calcule o vetor \vec{v} \times \vec{r};
(d) Calcule 0 vetor campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.

Passo 1

O enunciado descreve uma carga pontual q = 2\;\mu\text{C} cuja posição em função do tempo é
\overrightarrow r_q(t) = \sin t\,\overrightarrow i + \cos t\,\overrightarrow j + t\,\overrightarrow k\quad(\text{em m}),
e pede para calcular, no instante t=1\\ \text{s}, o campo magnético em P(0,0,1).
O conteúdo a usar é a lei de Biot–Savart para uma carga em movimento, na forma instantânea (não-relativística), que diz
\overrightarrow B(\mathbf r,t) =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\;q\;\frac{\overrightarrow v\times\overrightarrow R}{\lvert \overrightarrow R\rvert^{3}},
onde \overrightarrow v é a velocidade da carga, \overrightarrow R=\mathbf r-\overrightarrow r_q é o vetor do ponto da carga até o ponto de campo, e \mu_0/(4\pi)=10^{-7} (SI).

Passo 2

(a) Vetor posição da carga em t=1 s:
\overrightarrow r_q(1)=\sin(1)\,\overrightarrow i+\cos(1)\,\overrightarrow j+1\,\overrightarrow k.
Como o ponto de campo é P(0,0,1), o vetor relativo
\overrightarrow R=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow r_q(1) =(0,0,1)-\bigl(\sin1,\cos1,1\bigr) =(-\sin1)\,\overrightarrow i+(-\cos1)\,\overrightarrow j+0\,\overrightarrow k.

Passo 3

(b) Velocidade da carga
\overrightarrow v(t)=\frac{d}{dt}\bigl[\sin t\,\overrightarrow i+\cos t\,\overrightarrow j+t\,\overrightarrow k\bigr] =\cos t\,\overrightarrow i-\sin t\,\overrightarrow j+1\,\overrightarrow k.
Em t=1:
\overrightarrow v(1)=\cos1\,\overrightarrow i-\sin1\,\overrightarrow j+\overrightarrow k.

Passo 4

(c) Produto vetorial \overrightarrow v\times\overrightarrow R. Usando
\overrightarrow v(1)=(\cos1,\,-\sin1,\,1),\quad \overrightarrow R=(-\sin1,\,-\cos1,\,0),
temos
\overrightarrow v\times\overrightarrow R =\begin{vmatrix} \overrightarrow i & \overrightarrow j & \overrightarrow k\\\ \cos1 & -\sin1 & 1\\\\ -\sin1 & -\cos1 & 0 \end{vmatrix} =\cos1\,\overrightarrow i -\sin1\,\overrightarrow j -1\,\overrightarrow k.

Passo 5

(d) Módulo de \overrightarrow R:
\lvert\overrightarrow R\rvert =\sqrt{(-\sin1)^{2}+(-\cos1)^{2}+0^{2}} =\sqrt{\sin^{2}1+\cos^{2}1}=1,
logo \lvert\overrightarrow R\rvert^{3}=1. Aplicando Biot–Savart:
\overrightarrow B =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\;q\;\frac{\overrightarrow v\times\overrightarrow R}{\lvert\overrightarrow R\rvert^{3}} =10^{-7}\times\bigl(2\times10^{-6}\bigr)\, \bigl(\cos1\,\overrightarrow i-\sin1\,\overrightarrow j-\overrightarrow k\bigr).

Resposta

\overrightarrow B =2\times10^{-13}\,\bigl(\cos1\,\overrightarrow i-\sin1\,\overrightarrow j-\overrightarrow k\bigr)\quad(\text{T}).

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