EX-02 Uma carga q=2 \mu C se move segundo a trajetória \overrightarrow{\boldsymbol{q}}(t)=\sin t \overrightarrow{\boldsymbol{i}}+\cos t \overrightarrow{\boldsymbol{j}}+t \overrightarrow{\boldsymbol{k}} (em m e t em s). Calcule o campo magnético \vec{B} no ponto P(0,0,1) m, no instante t=1 s.
(a) Calcule o vetor \vec{r};
(b) Calcule o vetor velocidade \vec{v};
(c) Calcule o vetor \vec{v} \times \vec{r};
(d) Calcule 0 vetor campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.
Passo 1
O enunciado descreve uma carga pontual q = 2\;\mu\text{C} cuja posição em função do tempo é
e pede para calcular, no instante t=1\\ \text{s}, o campo magnético em P(0,0,1).
O conteúdo a usar é a lei de Biot–Savart para uma carga em movimento, na forma instantânea (não-relativística), que diz
onde \overrightarrow v é a velocidade da carga, \overrightarrow R=\mathbf r-\overrightarrow r_q é o vetor do ponto da carga até o ponto de campo, e \mu_0/(4\pi)=10^{-7} (SI).
Passo 2
(a) Vetor posição da carga em t=1 s:
\overrightarrow r_q(1)=\sin(1)\,\overrightarrow i+\cos(1)\,\overrightarrow j+1\,\overrightarrow k.
Como o ponto de campo é P(0,0,1), o vetor relativo
\overrightarrow R=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow r_q(1) =(0,0,1)-\bigl(\sin1,\cos1,1\bigr) =(-\sin1)\,\overrightarrow i+(-\cos1)\,\overrightarrow j+0\,\overrightarrow k.