Ex-05 Uma carga \boldsymbol{q}=\mathbf{1} \boldsymbol{\mu} \boldsymbol{C} se move segundo a trajetória \overrightarrow{\boldsymbol{q}}(t)=\sin t \overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+\cos t \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}+t \overrightarrow{\boldsymbol{k}} (em m e t em s). Calcule o campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}} no ponto P(0,0,1) m, no instante t=2 s.
(a) Calcule o vetor \overrightarrow{\boldsymbol{r}};
(b) Calcule o vetor velocidade \overrightarrow{\boldsymbol{v}};
c) Calcule o vetor \overrightarrow{\boldsymbol{v}} \times \overrightarrow{\boldsymbol{r}};
d) Calcule o vetor campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.

Passo 1

O enunciado dá uma carga q=1\,\mu\mathrm{C}=1\times10^{-6}\,\mathrm{C} que se move segundo
\vec r_q(t)=\sin t\,\vec\imath+\cos t\,\vec\jmath+t\,\vec k
e pede o campo magnético em P(0,0,1) no instante t=2\,\mathrm{s}.
Para isso usamos a lei de Biot–Savart para carga em movimento:
\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,\vec v\times\vec r}{\bigl\lvert\vec r\bigr\rvert^3},
onde \vec r=\vec r_P-\vec r_q(t) e \vec v=\dot{\vec r}_q(t).

Passo 2

Calculamos o vetor posição relativo de q a P:
\vec r=\bigl(0,0,1\bigr)-\bigl(\sin2,\cos2,2\bigr) =\bigl(-\sin2,\,-\cos2,\,1-2\bigr) =\bigl(-\sin2,\,-\cos2,\,-1\bigr).

Passo 3

Derivando \vec r_q(t) obtemos a velocidade
\vec v=\dot{\vec r}_q(t) =\bigl(\cos t,\,-\sin t,\,1\bigr),
logo em t=2:
\vec v=\bigl(\cos2,\,-\sin2,\,1\bigr).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \vec v\times\vec r em t=2:
\vec v\times\vec r =\begin{vmatrix} \vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\\ \cos2&-\sin2&1\\\\ -\sin2&-\cos2&-1 \end{vmatrix} =\bigl(\,\sin2+\cos2,\;\cos2-\sin2,\;-1\bigr).

Passo 5

O módulo de \vec r é
\bigl\lvert\vec r\bigr\rvert =\sqrt{\sin^2 2+\cos^2 2+(-1)^2} =\sqrt{1+1} =\sqrt{2},
portanto \bigl\lvert\vec r\bigr\rvert^3=(\sqrt2)^3=2\sqrt2.
Substituindo na lei de Biot–Savart, com \mu_0/4\pi=10^{-7}\,\mathrm{H/m} e q=10^{-6}\,\mathrm C:
\vec B =10^{-7}\,\frac{10^{-6}}{2\sqrt2}\, \bigl(\sin2+\cos2,\;\cos2-\sin2,\;-1\bigr)\;\mathrm T =\frac{10^{-13}}{2\sqrt2}\, \bigl(\sin2+\cos2,\;\cos2-\sin2,\;-1\bigr)\;\mathrm T.

Resposta

\vec B(0,0,1;\,t=2) =\frac{10^{-13}}{2\sqrt2} \bigl(\sin2+\cos2,\;\cos2-\sin2,\;-1\bigr)\;\mathrm T.

Exercícios relacionados