Ex-05 Uma carga \boldsymbol{q}=\mathbf{1} \boldsymbol{\mu} \boldsymbol{C} se move segundo a trajetória \overrightarrow{\boldsymbol{q}}(t)=\sin t \overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+\cos t \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}+t \overrightarrow{\boldsymbol{k}} (em m e t em s). Calcule o campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}} no ponto P(0,0,1) m, no instante t=2 s.
(a) Calcule o vetor \overrightarrow{\boldsymbol{r}};
(b) Calcule o vetor velocidade \overrightarrow{\boldsymbol{v}};
c) Calcule o vetor \overrightarrow{\boldsymbol{v}} \times \overrightarrow{\boldsymbol{r}};
d) Calcule o vetor campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.
Passo 1
O enunciado dá uma carga q=1\,\mu\mathrm{C}=1\times10^{-6}\,\mathrm{C} que se move segundo
\vec r_q(t)=\sin t\,\vec\imath+\cos t\,\vec\jmath+t\,\vec k
e pede o campo magnético em P(0,0,1) no instante t=2\,\mathrm{s}.
Para isso usamos a lei de Biot–Savart para carga em movimento:
portanto \bigl\lvert\vec r\bigr\rvert^3=(\sqrt2)^3=2\sqrt2.
Substituindo na lei de Biot–Savart, com \mu_0/4\pi=10^{-7}\,\mathrm{H/m} e q=10^{-6}\,\mathrm C:
\vec B =10^{-7}\,\frac{10^{-6}}{2\sqrt2}\, \bigl(\sin2+\cos2,\;\cos2-\sin2,\;-1\bigr)\;\mathrm T =\frac{10^{-13}}{2\sqrt2}\, \bigl(\sin2+\cos2,\;\cos2-\sin2,\;-1\bigr)\;\mathrm T.
Resposta
\vec B(0,0,1;\,t=2) =\frac{10^{-13}}{2\sqrt2} \bigl(\sin2+\cos2,\;\cos2-\sin2,\;-1\bigr)\;\mathrm T.