Ex-01: Se \varphi(x, y, z)=\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+\alpha z \quad " \mathrm{k} \quad \mathrm{e} \quad \alpha \quad são constantes" é o potencial elétrico.
(a) Determine o campo elétrico \vec{E} associado a esse potencial.
(b) Interprete fisicamente os termos \mathrm{k} \mathrm{e} \alpha do potencial e descreva a configuração de cargas gerada.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial elétrico \displaystyle \varphi(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+\alpha z,
com k e \alpha constantes. Queremos encontrar o campo elétrico associado e interpretar fisicamente os dois termos. Para isso vamos usar a relação fundamental da eletrostática
\vec{E}=-\nabla\varphi.

Passo 2

Calculamos o gradiente de \varphi. Seja r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Então
\frac{\partial\varphi}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(k\,r^{-1}\Bigr) =-\,k\,\frac{x}{r^{3}}, \quad \frac{\partial\varphi}{\partial y} =-\,k\,\frac{y}{r^{3}},
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(k\,r^{-1}+\alpha z\Bigr) =-\,k\,\frac{z}{r^{3}}+\alpha.
Então
\vec{E} =-\biggl(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\,\frac{\partial\varphi}{\partial y},\,\frac{\partial\varphi}{\partial z}\biggr) =\biggl(\frac{k\,x}{r^{3}},\,\frac{k\,y}{r^{3}},\,\frac{k\,z}{r^{3}}-\alpha\biggr).

Passo 3

Reescrevendo em forma vetorial usando o vetor posição \vec r=(x,y,z) e o versor \hat z, obtemos
\vec{E}(\vec r) =\frac{k}{r^{3}}\,\vec r \;-\;\alpha\,\hat z.

Passo 4

Interpretação física:
– O termo \displaystyle \frac{k}{r} em \varphi é o potencial de uma carga pontual q no origem, com k=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,q. O campo resultante \tfrac{k}{r^{3}}\vec r é radial e decai como 1/r^{2}.
– O termo \alpha z é um potencial que varia linearmente com z, gerando um campo uniforme \vec E_{0}=-\alpha\,\hat z. Fisicamente, isso equivale ao campo produzido por placas planas (infinitas) carregadas, criando um campo constante na região.

Resposta

(a)
\boxed{\vec{E}(x,y,z) =\frac{k}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\,(x,y,z) \;-\;\alpha\,\hat z.}
(b) k está ligado a uma carga pontual q=4\pi\varepsilon_{0}\,k no ponto O, gerando o termo radial \propto1/r^{2}. \alpha determina um campo uniforme \vec E=-\alpha\,\hat z, característico de placas paralelas infinitas carregadas.

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