Ex-03: Considere uma partícula
se movendo em uma região do espaço onde há campos eletromagnéticos.
(a) Explique por que o campo elétrico pode ser obtido a partir de um potencial escalar
, já o campo magnético não pode ser obtido por um potencial escalar, sendo necessário um potencial vetorial
.
(b) Sabendo que o campo elétrico está relacionado com
e
por
e o campo magnético por:
.
(c) Em seguida explique por que as expressões acima influenciam na força de Lorentz
(a) Explique por que o campo elétrico pode ser obtido a partir de um potencial escalar
(b) Sabendo que o campo elétrico está relacionado com
(c) Em seguida explique por que as expressões acima influenciam na força de Lorentz
Passo 1
O enunciado trata de mostrar por que em eletromagnetismo usamos um potencial escalar
para descrever o campo elétrico e um potencial vetorial
para descrever o campo magnético, apresentando as relações
e depois entender como isso aparece na força de Lorentz
Os conteúdos principais são as equações de Maxwell (em particular
e
) e as identidades vetoriais que garantem a existência de potenciais para campos sem certos “giro” ou “divergência”.
Passo 2
(a) Por que existe
para
mas não um escalar único para
?
– A equação de Maxwell diz que em regime estático
temos
. Qualquer campo de “curl” nulo é gradiente de um escalar, logo
– A equação de Maxwell
– Já a lei
afirma que
é divergência–nulo (solenoidal). Qualquer campo com
pode ser escrito como rotacional de um vetor, isto é, existe
tal que
Não se pode achar um potencial escalar único para
porque não basta exigir
; o ideal é usar um vetor cujo rotacional gere
.
Passo 3
(b) Extensão ao caso dinâmico:
– Como , mas o que interessa aqui é usar
no teorema de identidade
.
– Para , aplicamos o rotacional em
:
– Como
– Para
o que coincide com a lei de Faraday
. Assim, a expressão geral do campo elétrico é
e do campo magnético
Passo 4
(c) Impacto na força de Lorentz
Substituindo e
nas forças elétrica e magnética, obtemos
Substituindo
Isto mostra que:
- O termo
é a força conservativa vinda do potencial escalar (análoga a gradiente de energia potencial). - O termo
gera forças induzidas por variações temporais do vetor potencial. - O termo
é a parte magnética, toda vez que a partícula se move em um campo cujo vetor potencial tem não-zero rotacional.
Em outras palavras, os potenciaise são as “variáveis básicas” de onde derivam e e, consequentemente, moldam a força que age sobre a carga.
Resposta
(a) Porque campos com curl nulo
têm potencial escalar e campos com divergência nula
requerem potencial vetorial.
(b) Em geral
(b) Em geral
(c) Substituindo em
aparece
mostrando diretamente como
e
determinam a força de Lorentz.