Ex-03: Considere uma partícula \boldsymbol{q} se movendo em uma região do espaço onde há campos eletromagnéticos.
(a) Explique por que o campo elétrico pode ser obtido a partir de um potencial escalar \varphi, já o campo magnético não pode ser obtido por um potencial escalar, sendo necessário um potencial vetorial \vec{A}.
(b) Sabendo que o campo elétrico está relacionado com \varphi e \overrightarrow{\boldsymbol{A}} por
\vec{E}=-\nabla \varphi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
e o campo magnético por: \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=\nabla \times \vec{A}.
(c) Em seguida explique por que as expressões acima influenciam na força de Lorentz
\vec{F}=q \vec{E}+q \vec{v} \times \vec{B}

Passo 1

O enunciado trata de mostrar por que em eletromagnetismo usamos um potencial escalar \varphi para descrever o campo elétrico e um potencial vetorial \vec{A} para descrever o campo magnético, apresentando as relações
\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}, \quad \vec{B}=\nabla\times\vec{A},
e depois entender como isso aparece na força de Lorentz
\vec{F}=q\vec{E}+q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Os conteúdos principais são as equações de Maxwell (em particular \nabla\cdot\vec{B}=0 e \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t) e as identidades vetoriais que garantem a existência de potenciais para campos sem certos “giro” ou “divergência”.

Passo 2

(a) Por que existe \varphi para \vec{E} mas não um escalar único para \vec{B}?
– A equação de Maxwell \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t diz que em regime estático \partial\vec{B}/\partial t=0 temos \nabla\times\vec{E}=0. Qualquer campo de “curl” nulo é gradiente de um escalar, logo
\vec{E}=-\nabla\varphi\quad(\text{eletrostática}).á
– Já a lei \nabla\cdot\vec{B}=0 afirma que \vec{B} é divergência–nulo (solenoidal). Qualquer campo com \nabla\cdot\vec{B}=0 pode ser escrito como rotacional de um vetor, isto é, existe \vec{A} tal que
\vec{B}=\nabla\times\vec{A}.
Não se pode achar um potencial escalar único para \vec{B} porque não basta exigir \nabla\times(\nabla\psi)=0; o ideal é usar um vetor cujo rotacional gere \vec{B}.

Passo 3

(b) Extensão ao caso dinâmico:
– Como \nabla\times\vec{B}= \mu_0\vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\partial\vec{E}/\partial t, mas o que interessa aqui é usar \vec{B}=\nabla\times\vec{A} no teorema de identidade \nabla\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^2\vec{A}.
– Para \vec{E}, aplicamos o rotacional em \vec{E}=-\nabla\varphi-\partial\vec{A}/\partial t:
\nabla\times\vec{E} =-\nabla\times(\nabla\varphi) -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{A}) =-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},
o que coincide com a lei de Faraday \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t. Assim, a expressão geral do campo elétrico é
\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t},
e do campo magnético
\vec{B}=\nabla\times\vec{A}.

Passo 4

(c) Impacto na força de Lorentz
Substituindo \vec{E} e \vec{B} nas forças elétrica e magnética, obtemos
\vec{F} =q\vec{E}+q\,\vec{v}\times\vec{B} =-q\,\nabla\varphi -q\,\frac{\partial\vec{A}}{\partial t} +q\,\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A}).
Isto mostra que:
  • O termo -q\nabla\varphi é a força conservativa vinda do potencial escalar (análoga a gradiente de energia potencial).
  • O termo -q\,\partial\vec{A}/\partial t gera forças induzidas por variações temporais do vetor potencial.
  • O termo q\,\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A}) é a parte magnética, toda vez que a partícula se move em um campo cujo vetor potencial tem não-zero rotacional.
    Em outras palavras, os potenciais \varphi e \vec{A} são as “variáveis básicas” de onde derivam \vec{E} e \vec{B} e, consequentemente, moldam a força que age sobre a carga.

Resposta

(a) Porque campos com curl nulo \nabla\times\vec{E}=0 têm potencial escalar e campos com divergência nula \nabla\cdot\vec{B}=0 requerem potencial vetorial.
(b) Em geral
\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}, \quad \vec{B}=\nabla\times\vec{A}.
(c) Substituindo em \vec{F}=q\vec{E}+q\,\vec{v}\times\vec{B} aparece
\vec{F} =-q\,\nabla\varphi -q\,\frac{\partial\vec{A}}{\partial t} +q\,\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A}),
mostrando diretamente como \varphi e \vec{A} determinam a força de Lorentz.

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