Ex-05: Maxwell percebeu que a corrente que aparecia na lei de ampere não se conservava, pois para ser uma densidade de corrente que se conservava devia satisfazer a equação da continuidade
Use este fato para fazer a correção na equação de ampere que Maxwell realizou na época e apresente as quatro equações de Maxwell.
Passo 1
O enunciado nos lembra que a lei de Ampère original em vácuo é
mas, aplicando o operador divergente em ambos os lados, teríamos
ou seja, exige-se
. Por outro lado, a equação da continuidade impõe
logo não podemos ter sempre
se
. Precisamos, então, corrigir a lei de Ampère para respeitar a continuidade de carga.
Passo 2
Para restaurar a consistência, Maxwell adicionou um termo chamado corrente de deslocamento, proporcional à taxa de variação do campo elétrico. Note que da lei de Gauss em vácuo vale
logo diferenciando em relação ao tempo:
Usando a continuidade,
, obtemos
Passo 3
Queremos que, ao aplicar
na lei corrigida, venha
e de fato, usando o resultado do passo anterior, os dois termos se cancelam. Isso leva à lei de Ampère–Maxwell em vácuo:
Passo 4
Reunindo as quatro equações de Maxwell em forma diferencial no vácuo, temos:
Resposta
As quatro equações de Maxwell em vácuo são: