Ex-05: Maxwell percebeu que a corrente que aparecia na lei de ampere não se conservava, pois para ser uma densidade de corrente que se conservava devia satisfazer a equação da continuidade
\nabla \cdot \vec{J}+\frac{d \rho}{d t}=0
Use este fato para fazer a correção na equação de ampere que Maxwell realizou na época e apresente as quatro equações de Maxwell.

Passo 1

O enunciado nos lembra que a lei de Ampère original em vácuo é
\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}\,\vec{J}
mas, aplicando o operador divergente em ambos os lados, teríamos
\nabla \cdot (\nabla \times \vec{B}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 0 = \mu_{0}\,\nabla\cdot\vec{J},
ou seja, exige-se \nabla\cdot\vec{J}=0. Por outro lado, a equação da continuidade impõe
\nabla\cdot\vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0,
logo não podemos ter sempre \nabla\cdot\vec{J}=0 se \partial \rho/\partial t\neq0. Precisamos, então, corrigir a lei de Ampère para respeitar a continuidade de carga.

Passo 2

Para restaurar a consistência, Maxwell adicionou um termo chamado corrente de deslocamento, proporcional à taxa de variação do campo elétrico. Note que da lei de Gauss em vácuo vale
\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
logo diferenciando em relação ao tempo:
\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\vec{E}) = \frac{1}{\varepsilon_{0}}\;\frac{\partial \rho}{\partial t}.
Usando a continuidade, \partial \rho/\partial t = -\nabla\cdot\vec{J}, obtemos
\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\vec{E}) = -\frac{1}{\varepsilon_{0}}\;\nabla\cdot\vec{J}.

Passo 3

Queremos que, ao aplicar \nabla\cdot na lei corrigida, venha
\nabla\cdot(\mu_{0}\vec{J} + \underbrace{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}_{\text{corrente de deslocamento}}) = \mu_{0}\,\nabla\cdot\vec{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\vec{E}) = 0,
e de fato, usando o resultado do passo anterior, os dois termos se cancelam. Isso leva à lei de Ampère–Maxwell em vácuo:
\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}\,\vec{J} + \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

Passo 4

Reunindo as quatro equações de Maxwell em forma diferencial no vácuo, temos:
\boxed{\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}}
\boxed{\nabla\cdot\vec{B} = 0}
\boxed{\nabla\times\vec{E} = -\,\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}
\boxed{\nabla\times\vec{B} = \mu_{0}\,\vec{J} + \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

Resposta

As quatro equações de Maxwell em vácuo são:
\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}, \quad \nabla\cdot\vec{B} = 0, \quad \nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \quad \nabla\times\vec{B} = \mu_{0}\,\vec{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

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