Ex-04: Determine a forma vetorial de cada uma das equações abaixo.
- Lei de Gauss para campo elétrico
- Lei de Gauss para campo magnético
- Lei de Ampere
- Lei de Faraday
Passo 1
O enunciado nos dá as formas integrais de quatro leis de Maxwell (Gauss para
, Gauss para
, Ampère sem correção de Maxwell e Faraday) e pede para traduzi-las em forma vetorial (diferencial). Para isso usaremos o teorema da divergência (para leis de fluxo) e o teorema de Stokes (para leis de circulação).
Passo 2
A Lei de Gauss para campo elétrico é
Pelo teorema da divergência,
Igualando integrandos em volumes arbitrários obtemos
Passo 3
A Lei de Gauss para campo magnético é
Aplicando o teorema da divergência,
para todo volume
, segue que
Passo 4
A Lei de Ampère (sem termo de deslocamento) é
Pelo teorema de Stokes,
Para superfícies arbitrárias concluímos
Passo 5
A Lei de Faraday é
Pelo teorema de Stokes e levando a derivada para dentro da integral (superfície fixa),
Assim,
Resposta
abla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\(varepsilon_{0})} \
abla\cdot\vec{B}
\
abla\times\vec{B}=\(mu_{0}),\vec{J} \
abla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}