Ex-04: Determine a forma vetorial de cada uma das equações abaixo.
  • Lei de Gauss para campo elétrico
\phi_{E}=\frac{q_{\text {Int }}}{\varepsilon_{0}}
  • Lei de Gauss para campo magnético
\phi_{B}=0
  • Lei de Ampere
\oint_{\lambda} \vec{B} d \overrightarrow{\boldsymbol{\ell}}=\mu_{0} I_{I n t}
  • Lei de Faraday
\oint_{\lambda} \vec{E} d \vec{\ell}=-\frac{d \phi_{B}}{d t}

Passo 1

O enunciado nos dá as formas integrais de quatro leis de Maxwell (Gauss para \vec{E}, Gauss para \vec{B}, Ampère sem correção de Maxwell e Faraday) e pede para traduzi-las em forma vetorial (diferencial). Para isso usaremos o teorema da divergência (para leis de fluxo) e o teorema de Stokes (para leis de circulação).

Passo 2

A Lei de Gauss para campo elétrico é
\oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Pelo teorema da divergência,
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A} = \int_{V}(\nabla\cdot\vec{E})\,dV, \quad q_{\mathrm{int}} = \int_{V}\rho\,dV.
Igualando integrandos em volumes arbitrários obtemos
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.

Passo 3

A Lei de Gauss para campo magnético é
\oint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A}=0.
Aplicando o teorema da divergência,
\int_{V}(\nabla\cdot\vec{B})\,dV=0
para todo volume V, segue que
\nabla\cdot\vec{B}=0.

Passo 4

A Lei de Ampère (sem termo de deslocamento) é
\oint_{\lambda}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}I_{\mathrm{int}}.
Pelo teorema de Stokes,
\oint_{\lambda}\vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \int_{S}(\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{A}, \quad I_{\mathrm{int}} = \int_{S}\vec{J}\cdot d\vec{A}.
Para superfícies arbitrárias concluímos
\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\,\vec{J}.

Passo 5

A Lei de Faraday é
\oint_{\lambda}\vec{E}\cdot d\vec{\ell} =-\frac{d\phi_{B}}{dt}, \quad \phi_{B}=\int_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A}.
Pelo teorema de Stokes e levando a derivada para dentro da integral (superfície fixa),
\oint_{\lambda}\vec{E}\cdot d\vec{\ell} = \int_{S}(\nabla\times\vec{E})\cdot d\vec{A}, \quad -\frac{d}{dt}\int_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A} = -\int_{S}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{A}.
Assim,
\nabla\times\vec{E} =-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.

Resposta

abla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\(varepsilon_{0})} \
abla\cdot\vec{B} =0 \
abla\times\vec{B}=\(mu_{0}),\vec{J} \
abla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

Exercícios relacionados