Ex-02 Um foguete é lançado verticalmente para cima). Sabendo que a aceleração é \overrightarrow{\bar{j}}=-2 \vec{i}
(a) Determine o vetor posição em função de
;
(b) Qual a altura maxima atingida pelo foguete?
(a) Determine o vetor posição em função de
(b) Qual a altura maxima atingida pelo foguete?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Dado: o foguete é lançado verticalmente para cima e a aceleração é
. - Deve-se encontrar:
(a) o vetor posição em função do tempo;
(b) a altura máxima atingida pelo foguete.
Observações (informação útil que extraí do enunciado): por “lançado verticalmente” entendo que o movimento ocorre só na direção
(vertical). Não foram fornecidos valores numéricos para a posição inicial nem para a velocidade inicial, então vou manter constantes iniciais gerais: posição inicial
e velocidade inicial
. Para movimento vertical podemos escrever
e
. Como o lançamento é vertical, usarei
(ou seja, movimento sem componente horizontal).
Passo 2
Conceito básico e estratégia: em cinemática de movimento retilíneo com aceleração constante, a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo e a posição é a integral da velocidade. Isso gera fórmulas padrão:
Aqui cada símbolo significa:
-
: aceleração (vetor), dada; -
: velocidade vetorial no tempo ; -
: posição vetorial no tempo ; -
: velocidade inicial ; -
: posição inicial .
Vou aplicar essas integrais com
.
Passo 3
Integração da aceleração para obter a velocidade. Aplicando a fórmula
com
obtemos
Separando componentes:
Explicação didática: a componente horizontal
não muda porque não há aceleração na direção
. A componente vertical diminui linearmente com declive
(unidades de aceleração) começando em
.
Passo 4
Integração da velocidade para obter a posição. Usando
substituímos
. Assim
Reorganizando por componentes:
Comentário prático: como o lançamento é vertical, podemos tomar
. Então a posição horizontal fica constante
(geralmente escolhe-se
) e a expressão vertical é
onde o termo
vem de
.
Passo 5
Interpretação física e domínio de validade: a expressão
descreve subida e descida sob aceleração constante para baixo. Para haver altura máxima é necessário
(lançamento realmente para cima). O tempo em que atinge o máximo é quando a velocidade vertical zera.
Passo 6
Cálculo do instante do máximo: impondo
,
Expliquei: usei a expressão do passo 3 para
e resolvi para
. Note que
é positivo se
.
Passo 7
Cálculo da altura máxima substituindo
em
:
Agora simplifico passo a passo:
Comentário: essa fórmula mostra que a altura máxima depende da posição inicial
e do quadrado da velocidade inicial vertical dividido por
. Isso é análogo à fórmula clássica
com
, resultando em
.
Passo 8
Exemplo numérico (para fixar): se
(lança do solo) e
(unidades compatíveis), então
Isso significa que o foguete sobe durante
unidades de tempo e alcança altura
(unidades de comprimento), ilustrando como aplicar as fórmulas obtidas.
Resposta
(a)
(b)
(b)