Ex-02 Um foguete é lançado verticalmente para cima). Sabendo que a aceleração é \overrightarrow{\bar{j}}=-2 \vec{i}
(a) Determine o vetor posição em função de t;
(b) Qual a altura maxima atingida pelo foguete?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Dado: o foguete é lançado verticalmente para cima e a aceleração é \vec{a}=-2\hat{\jmath}.
  • Deve-se encontrar:
    (a) o vetor posição em função do tempo t;
    (b) a altura máxima atingida pelo foguete.
Observações (informação útil que extraí do enunciado): por “lançado verticalmente” entendo que o movimento ocorre só na direção \hat{\jmath} (vertical). Não foram fornecidos valores numéricos para a posição inicial nem para a velocidade inicial, então vou manter constantes iniciais gerais: posição inicial \vec{r}(0)=\vec{r}_0 e velocidade inicial \vec{v}(0)=\vec{v}_0. Para movimento vertical podemos escrever \vec{r}_0 = x_0\hat{\imath}+y_0\hat{\jmath} e \vec{v}_0 = v_{0x}\hat{\imath}+v_{0y}\hat{\jmath}. Como o lançamento é vertical, usarei v_{0x}=0 (ou seja, movimento sem componente horizontal).

Passo 2

Conceito básico e estratégia: em cinemática de movimento retilíneo com aceleração constante, a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo e a posição é a integral da velocidade. Isso gera fórmulas padrão:
\vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\int_{0}^{t}\vec{a}\,dt=\vec{v}_0+\vec{a}\,t,
\vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\int_{0}^{t}\vec{v}(s)\,ds=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^2.
Aqui cada símbolo significa:
  • \vec{a}: aceleração (vetor), dada;
  • \vec{v}(t): velocidade vetorial no tempo t;
  • \vec{r}(t): posição vetorial no tempo t;
  • \vec{v}_0: velocidade inicial \vec{v}(0);
  • \vec{r}_0: posição inicial \vec{r}(0).
Vou aplicar essas integrais com \vec{a}=-2\hat{\jmath}.

Passo 3

Integração da aceleração para obter a velocidade. Aplicando a fórmula
\vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}\,t
com \vec{a}=-2\hat{\jmath} obtemos
\vec{v}(t)=v_{0x}\hat{\imath}+v_{0y}\hat{\jmath}+(-2\hat{\jmath})\,t.
Separando componentes:
v_x(t)=v_{0x},
v_y(t)=v_{0y}-2t.
Explicação didática: a componente horizontal v_x não muda porque não há aceleração na direção \hat{\imath}. A componente vertical diminui linearmente com declive -2 (unidades de aceleração) começando em v_{0y}.

Passo 4

Integração da velocidade para obter a posição. Usando
\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^2,
substituímos \vec{a}=-2\hat{\jmath}. Assim
\vec{r}(t)=x_0\hat{\imath}+y_0\hat{\jmath}+(v_{0x}\hat{\imath}+v_{0y}\hat{\jmath})\,t+\tfrac{1}{2}(-2\hat{\jmath})\,t^2.
Reorganizando por componentes:
x(t)=x_0+v_{0x}\,t,
y(t)=y_0+v_{0y}\,t - t^2.
Comentário prático: como o lançamento é vertical, podemos tomar v_{0x}=0. Então a posição horizontal fica constante x(t)=x_0 (geralmente escolhe-se x_0=0) e a expressão vertical é \;y(t)=y_0+v_{0y}t-t^2\; onde o termo -t^2 vem de \tfrac{1}{2}(-2)t^2.

Passo 5

Interpretação física e domínio de validade: a expressão y(t)=y_0+v_{0y}t-t^2 descreve subida e descida sob aceleração constante para baixo. Para haver altura máxima é necessário v_{0y}>0 (lançamento realmente para cima). O tempo em que atinge o máximo é quando a velocidade vertical zera.

Passo 6

Cálculo do instante do máximo: impondo v_y(t)=0,
0=v_{0y}-2t \quad\Rightarrow\quad t_{\text{máx}}=\tfrac{v_{0y}}{2}.á
Expliquei: usei a expressão do passo 3 para v_y(t) e resolvi para t. Note que t_{\text{máx}}á é positivo se v_{0y}>0.

Passo 7

Cálculo da altura máxima substituindo t_{\text{máx}}á em y(t):
y_{\text{máx}}=y\!\left(t_{\text{máx}}\right)=y_0+v_{0y}\!\left(\tfrac{v_{0y}}{2}\right)-\left(\tfrac{v_{0y}}{2}\right)^{\!2}.áá
Agora simplifico passo a passo:
y_{\text{máx}}=y_0+\tfrac{v_{0y}^2}{2}-\tfrac{v_{0y}^2}{4}á
y_{\text{máx}}=y_0+\tfrac{v_{0y}^2}{4}.á
Comentário: essa fórmula mostra que a altura máxima depende da posição inicial y_0 e do quadrado da velocidade inicial vertical dividido por 4. Isso é análogo à fórmula clássica \Delta y = \dfrac{v_{0y}^2}{2|a|} com |a|=2, resultando em \dfrac{v_{0y}^2}{4}.

Passo 8

Exemplo numérico (para fixar): se y_0=0 (lança do solo) e v_{0y}=10 (unidades compatíveis), então
t_{\text{máx}}=\tfrac{10}{2}=5,á
y_{\text{máx}}=0+\tfrac{10^2}{4}=25.á
Isso significa que o foguete sobe durante 5 unidades de tempo e alcança altura 25 (unidades de comprimento), ilustrando como aplicar as fórmulas obtidas.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{r}(t)=x_0\hat{\imath}+\bigl(y_0+v_{0y}t-t^{2}\bigr)\hat{\jmath}.
(b) \displaystyle y_{\text{máx}}=y_0+\dfrac{v_{0y}^{2}}{4}.á

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