Um oscilador amortecido é formado por uma massa de 150 g . A amplitude inicial é
. Em 10 s a amplitude diminui para
. Calcular a constante de amortecimento devido a viscosidade.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma quantidade bem específica.
Dados fornecidos:
- massa:
. - amplitude inicial:
(no instante ). - amplitude após
: . - intervalo de tempo considerado:
.
O que se pede:
- Calcular a constante de amortecimento devido à viscosidade (a constante viscosa do amortecedor), que chamaremos de
.
Passo 2
Modelo físico e ideia principal (sem pressa, eu explico): para um oscilador com amortecimento viscoso a equação do movimento é
onde:
-
é a massa (em kg), -
é a constante de amortecimento viscoso (unidade ou ), -
é a constante elástica da mola, -
é o deslocamento.
A solução quando o sistema está subamortecido (caso mais comum para oscilações visíveis) tem forma
com a amplitude amortecida dada por
Explico: os termos complexos da resolução da equação característica produzem um fator exponencial
que é o envelope decrescente da amplitude. Esse envelope depende só de
e
, e é por isso que podemos usar as amplitudes em dois instantes para achar
.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a relação entre amplitudes nos tempos dados:
Tomando a razão entre
e
e aplicando logaritmo natural:
Passo 4
Isolando
na expressão anterior:
Esta é a fórmula que vamos usar. Observação didática: o logaritmo aparece porque o decaimento é exponencial; sempre que tivermos razões de quantidades que seguem uma lei
, usamos logaritmo para linearizar e resolver para
.
Passo 5
Substituímos os valores numéricos (todos em SI):
Passo 6
Calcular a razão das amplitudes e o logaritmo:
(Dica rápida:
é negativo porque
, o que indica decaimento.)
Passo 7
Agora calcule
usando a fórmula:
Efetuando as operações passo a passo:
Passo 8
Arredondamento e interpretação:
- Com três algarismos significativos,
. - Unidade:
(equivalente a ), que é a unidade usual para constante de amortecimento viscoso. - Em palavras: o amortecedor tem uma constante viscosa de aproximadamente
, o que dá o decaimento observado das amplitudes entre e em .