Um oscilador amortecido é formado por uma massa de 150 g . A amplitude inicial é 0,25 \mathrm{~m}. Em 10 s a amplitude diminui para 0,15 \mathrm{~m}. Calcular a constante de amortecimento devido a viscosidade.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma quantidade bem específica.
Dados fornecidos:
  • massa: m=150\\ \mathrm{g}=0,150\\ \mathrm{kg}.
  • amplitude inicial: A_0=0,25\\ \mathrm{m} (no instante t=0).
  • amplitude após 10\\ \mathrm{s}: A(10)=0,15\\ \mathrm{m}.
  • intervalo de tempo considerado: t=10\\ \mathrm{s}.
O que se pede:
  • Calcular a constante de amortecimento devido à viscosidade (a constante viscosa do amortecedor), que chamaremos de c.

Passo 2

Modelo físico e ideia principal (sem pressa, eu explico): para um oscilador com amortecimento viscoso a equação do movimento é
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0,
onde:
  • m é a massa (em kg),
  • c é a constante de amortecimento viscoso (unidade \mathrm{kg/s} ou \mathrm{N\cdot s/m}),
  • k é a constante elástica da mola,
  • x(t) é o deslocamento.
A solução quando o sistema está subamortecido (caso mais comum para oscilações visíveis) tem forma
x(t)=A(t)\cos(\omega_d t + \varphi),
com a amplitude amortecida dada por
A(t)=A_0 e^{-\frac{c}{2m}t}.
Explico: os termos complexos da resolução da equação característica produzem um fator exponencial e^{-c t/(2m)} que é o envelope decrescente da amplitude. Esse envelope depende só de c e m, e é por isso que podemos usar as amplitudes em dois instantes para achar c.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a relação entre amplitudes nos tempos dados:
A(t)=A_0 e^{-\frac{c}{2m}t}.
Tomando a razão entre A(t) e A_0 e aplicando logaritmo natural:
\frac{A(t)}{A_0}= e^{-\frac{c}{2m}t} \quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{A(t)}{A_0}\right)=-\frac{c}{2m}t.

Passo 4

Isolando c na expressão anterior:
-\frac{c}{2m}t=\ln\!\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) \quad\Rightarrow\quad c=-\frac{2m}{t}\ln\!\left(\frac{A(t)}{A_0}\right).
Esta é a fórmula que vamos usar. Observação didática: o logaritmo aparece porque o decaimento é exponencial; sempre que tivermos razões de quantidades que seguem uma lei y\propto e^{\alpha t}, usamos logaritmo para linearizar e resolver para \alpha.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos (todos em SI):
m=0,150\\ \mathrm{kg},\qquad A_0=0,25\\ \mathrm{m},\qquad A(10)=0,15\\ \mathrm{m},\qquad t=10\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Calcular a razão das amplitudes e o logaritmo:
\frac{A(10)}{A_0}=\frac{0,15}{0,25}=0,6,
\ln\!\left(0,6\right)\approx -0,510826.
(Dica rápida: \ln(0{,}6) é negativo porque 0{,}6<1, o que indica decaimento.)

Passo 7

Agora calcule c usando a fórmula:
c=-\frac{2m}{t}\ln\!\left(\frac{A(10)}{A_0}\right) =-\frac{2\cdot 0,150}{10}\cdot(-0,510826).
Efetuando as operações passo a passo:
2\cdot 0,150=0,300,
0,300\cdot(-0,510826)=-0,1532478,
c=-\frac{-0,1532478}{10}=0,01532478\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 8

Arredondamento e interpretação:
  • Com três algarismos significativos, c\approx 0,0153\\ \mathrm{kg/s}.
  • Unidade: \mathrm{kg/s} (equivalente a \mathrm{N\cdot s/m}), que é a unidade usual para constante de amortecimento viscoso.
  • Em palavras: o amortecedor tem uma constante viscosa de aproximadamente 0{,}0153\\ \mathrm{kg/s}, o que dá o decaimento observado das amplitudes entre 0{,}25\\ \mathrm{m} e 0{,}15\\ \mathrm{m} em 10\\ \mathrm{s}.

Resposta

c=0,0153\\ \mathrm{kg/s}

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