Ex-10: Uma onda eletromagnética plana propaga-se no vácuo com campos:
\vec{E}(z, t)=E_{0} \cos (k z-\omega t) \vec{x} ; \quad \vec{B}(z, t)=B_{0} \cos (k z-\omega t) \vec{y}
(a) Determine a densidade de energia eletromagnética total " u_{T O T}=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}+\frac{1}{2 \mu_{0}} B^{2 "};
(b) Calcule o vetor de Poynting \frac{1}{2 \mu_{0}} \vec{E} \times \vec{B}
(c) Qual o significado de \overrightarrow{\boldsymbol{S}} e qual relação com o transporte de energia

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana no vácuo com
\vec{E}(z,t)=E_{0}\cos(kz-\omega t)\,\hat{x},\quad \vec{B}(z,t)=B_{0}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}.
Pede (a) a densidade de energia eletromagnética total \displaystyle u_{\rm TOT}=\tfrac12\varepsilon_0E^2+\tfrac1{2\mu_0}B^2,
(b) o vetor de Poynting \displaystyle \vec S=\tfrac1{2\mu_0}\,\vec E\times\vec B,
e (c) o significado físico de \vec S e sua relação com o transporte de energia.
Vamos usar as fórmulas de energia e Poynting em ondas planas no vácuo e a relação \displaystyle B_0=E_0/c.

Passo 2

A densidade de energia eletromagnética em qualquer ponto e instante é
u_{\rm TOT}(z,t) =\frac12\,\varepsilon_0\,E^2+\frac1{2\mu_0}\,B^2.
Substituindo \displaystyle E=E_{0}\cos(kz-\omega t) e \displaystyle B=B_{0}\cos(kz-\omega t) obtemos
u_{\rm TOT}(z,t) =\frac12\,\varepsilon_0\,E_{0}^2\cos^2(kz-\omega t) +\frac1{2\mu_0}\,B_{0}^2\cos^2(kz-\omega t).

Passo 3

Em ondas planas no vácuo vale
B_{0}=\frac{E_{0}}{c},
e como \displaystyle c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}, temos
\frac1{2\mu_0}B_{0}^2 =\frac1{2\mu_0}\,\frac{E_{0}^2}{c^2} =\frac12\,\varepsilon_0\,E_{0}^2.
Logo a soma das duas parcelas dá
u_{\rm TOT}(z,t) =\varepsilon_0\,E_{0}^2\cos^2(kz-\omega t).

Passo 4

O vetor de Poynting instantâneo (médio em tempo) é dado por
\vec S(z,t) =\frac1{2\mu_0}\,\vec E\times\vec B.
Fazendo o produto vetorial \hat x\times\hat y=\hat z e substituindo os campos:
\vec S(z,t) =\frac1{2\mu_0}\,E_{0}\cos(kz-\omega t)\;B_{0}\cos(kz-\omega t)\;\hat z =\frac{E_{0}B_{0}}{2\mu_0}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z.
Usando B_{0}=E_{0}/c resulta
\vec S(z,t) =\frac{E_{0}^2}{2\mu_0\,c}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z =\frac12\,\varepsilon_0\,c\,E_{0}^2\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z.

Passo 5

O vetor \vec S representa o fluxo de energia eletromagnética por unidade de área (potência por área) e indica a direção de propagação da energia da onda. Em ondas planas no vácuo há a relação
|\vec S|=u_{\rm TOT}\,c,
ou seja, a densidade de energia u_{\rm TOT} se desloca à velocidade c.

Resposta

(a)
u_{\rm TOT}(z,t) =\frac12\,\varepsilon_0\,E_{0}^2\cos^2(kz-\omega t) +\frac1{2\mu_0}\,B_{0}^2\cos^2(kz-\omega t),
que, usando B_{0}=E_{0}/c, simplifica para
u_{\rm TOT}(z,t)=\varepsilon_0\,E_{0}^2\cos^2(kz-\omega t).
(b)
\vec S(z,t) =\frac1{2\mu_0}\,\vec E\times\vec B =\frac{E_{0}B_{0}}{2\mu_0}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z =\frac12\,\varepsilon_0\,c\,E_{0}^2\cos^2(kz-\omega t)\,\hat z.
(c) \vec S é o vetor de fluxo de energia (potência por área) da onda, apontando na direção de propagação. Ele mostra como a energia contida em u_{\rm TOT} se transporta a uma velocidade c, obedecendo |\vec S|=u_{\rm TOT}\,c.

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