Ex-07: Considere um fio longo retilíneo transportando uma corrente alternada I(t)=I_{0} \cos (\omega t). Utilize as equações de Maxwell para discutir o comportamento do campo magnético em torno do fio ao longo do tempo.

Passo 1

O enunciado nos dá um fio longo e retilíneo transportando uma corrente alternada
I(t)=I_{0}\cos(\omega t)
e pede para usar as equações de Maxwell para discutir como o campo magnético ao redor do fio varia no tempo. Vamos precisar da simetria cilíndrica do problema, da Lei de Ampère–Maxwell
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_{0}\,I_{\rm enc} +\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\!\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}
e, em seguida, comentar o papel da Lei de Faraday
\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\,.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica o campo magnético só tem componente azimutal \mathbf{B}=B_{\varphi}(r,t)\,\hat{\boldsymbol\varphi}. Escolhemos um caminho \mathcal{C} circular de raio r coaxial ao fio. Então
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =B_{\varphi}(r,t)\,(2\pi r).
Para r fora do fio, a corrente envolvida é I_{\rm enc}=I(t). Em regime quase‐estático (ou seja, para comprimentos característicos r muito menores que a onda de rádio associada), desprezamos o termo de corrente de deslocamento \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\partial_{t}\!\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}. Assim a Lei de Ampère–Maxwell reduz‐se a
B_{\varphi}(r,t)\,2\pi r=\mu_{0}\,I(t) \quad\Longrightarrow\quad B_{\varphi}(r,t) =\frac{\mu_{0}\,I_{0}}{2\pi r}\,\cos(\omega t).

Passo 3

Concluímos, portanto, que o campo magnético em torno do fio oscila no tempo em fase com a corrente:
\boxed{ \mathbf{B}(r,t) =\frac{\mu_{0}\,I_{0}}{2\pi r}\,\cos(\omega t)\;\hat{\boldsymbol\varphi} }\,.
Esse campo decai como 1/r e inverte direção sempre que \cos(\omega t) muda de sinal.

Passo 4

Como \partial \mathbf{B}/\partial t\neq 0, a Lei de Faraday
\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
nos diz que há também um campo elétrico induzido, com linhas de campo circulando em torno do fio, cuja intensidade é proporcional a \omega\sin(\omega t)/(r).

Passo 5

Se quisermos levar em conta os efeitos de retardo — isto é, a propagação finita da perturbação eletromagnética — substituímos \cos(\omega t) por \cos\!\bigl[\omega(t - r/c)\bigr]. Em regiões muito distantes isso dá origem ao campo radiativo típico de uma antena linear.

Resposta

\mathbf{B}(r,t) =\frac{\mu_{0}\,I_{0}}{2\pi r}\,\cos\!\bigl[\omega t\bigr]\;\hat{\boldsymbol\varphi}
O campo oscila em fase com a corrente, decai como 1/r e gera por indução um campo elétrico dado por \nabla\times\mathbf{E}=-\partial_{t}\mathbf{B}.

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