Ex-09: Considere uma onda eletromagnética plana se propagando no vácuo na direção na direção do eixo-z positivo e suponha que o campo elétrico seja dado por:
\vec{E}(z, t)=E_{0} \cos (k z-\omega t) \vec{x}
(a) Use as equações de Maxwell para determinar a forma do campo magnético B(z, t).
(b) Mostre que \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação de onda \vec{k} são mutuamente perpendiculares.
(c) Mostre que \vec{E}, \vec{B} estão em fase e que \frac{E_{0}}{B_{0}}=c (velocidade da luz).

Passo 1

O enunciado trata de uma onda eletromagnética plana no vácuo que se propaga ao longo do eixo z positivo, com campo elétrico
\vec{E}(z,t)=E_{0}\cos\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{x}.
Precisamos usar as equações de Maxwell em vazio para:
• (a) determinar \vec{B}(z,t);
• (b) mostrar que \vec{E},\vec{B} e \vec{k} são mutuamente perpendiculares;
• (c) mostrar que \vec{E} e \vec{B} estão em fase e que E_{0}/B_{0}=c.

Passo 2

Em vazio, a Lei de Faraday diz
\nabla \times \vec{E} \;=\;-\,\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.
Calculamos \nabla\times\vec{E}. Como \vec{E}=E_{0}\cos(kz-\omega t)\,\hat{x}, só há variação em z, logo
(\nabla\times\vec{E})_{y} =\frac{\partial E_{x}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl[E_{0}\cos(kz-\omega t)\bigr] =-\,k\,E_{0}\,\sin(kz-\omega t).
As outras componentes de \nabla\times\vec{E} são nulas. Assim
\nabla\times\vec{E} =-\,k\,E_{0}\,\sin(kz-\omega t)\,\hat{y} =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.
Isso implica
\frac{\partial B_{y}}{\partial t} = k\,E_{0}\,\sin(kz-\omega t).
Integrando em t, e lembrando que \omega/k=c, obtemos
B_{y}(z,t) =\frac{k}{\omega}\,E_{0}\,\cos(kz-\omega t) =\frac{E_{0}}{c}\,\cos(kz-\omega t).
Logo
\boxed{\vec{B}(z,t) =\frac{E_{0}}{c}\,\cos\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{y}.}

Passo 3

O vetor de onda é \vec{k}=k\,\hat{z}. Vimos que \vec{E}\parallel\hat{x}, \vec{B}\parallel\hat{y}
e \vec{k}\parallel\hat{z}. Como \hat{x},\hat{y},\hat{z} são mutuamente ortogonais, concluímos que \vec{E},\vec{B} e \vec{k} são mutuamente perpendiculares.

Passo 4

Tanto \vec{E} quanto \vec{B} dependem de \cos(kz-\omega t), logo variam simultaneamente: estão em fase. Os módulos de pico satisfazem
\frac{E_{0}}{B_{0}} =\frac{E_{0}}{E_{0}/c} = c,
que é exatamente a velocidade da luz no vácuo.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{B}(z,t)=\frac{E_{0}}{c}\cos\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{y}.
(b) \vec{E}\parallel\hat{x},\;\vec{B}\parallel\hat{y},\;\vec{k}\parallel\hat{z} são mutuamente perpendiculares.
(c) Estão em fase (mesmo argumento de cosseno) e \displaystyle E_{0}/B_{0}=c.

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