Ex. 11 Uma caixa contém v bolas vermelhas e a bolas azuis. Uma bola é selecionada ao acaso e sua cor é observada. A bola então é devolvida à caixa e k bolas adicionais da mesma cor também são colocadas na caixa. Em seguida, uma segunda bola é selecionada ao acaso, sua cor é observada e ela é devolvida à caixa junto com k bolas adicionais da mesma cor. A cada nova seleção, o processo é repetido. Se quatro bolas são selecionadas, qual é a probabilidade de que as três primeiras sejam vermelhas e a quarta seja azul?

Passo 1

O enunciado dá isto: há inicialmente \;v\; bolas vermelhas e \;a\; bolas azuis na caixa. A cada seleção faz-se o seguinte: escolhe-se uma bola ao acaso, observa-se a cor, devolve-se a bola e adicionam‑se \;k\; bolas da mesma cor. Esse procedimento é repetido a cada nova seleção. Queremos a probabilidade de que as quatro seleções sigam a sequência: primeira vermelha, segunda vermelha, terceira vermelha e quarta azul. Em símbolos, queremos
P(\text{R},\text{R},\text{R},\text{B}).
Informações relevantes listadas:
  • Inicialmente há \;v\; vermelhas e \;a\; azuis.
  • A cada retirada da cor C devolve‑se a bola e acrescentam‑se \;k\; bolas da cor C.
  • Precisamos da probabilidade conjunta da sequência \text{R},\text{R},\text{R},\text{B} em quatro seleções.

Passo 2

Regra que vamos usar: para eventos sequenciais, a probabilidade conjunta é o produto de probabilidades condicionais passo a passo. Mais precisamente,
P(E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4)=P(E_1)\,P(E_2\mid E_1)\,P(E_3\mid E_1\cap E_2)\,P(E_4\mid E_1\cap E_2\cap E_3).
Aqui E_i é o evento da i-ésima seleção ter a cor desejada. A ideia é: calcular a probabilidade do primeiro evento, depois a probabilidade do segundo sabendo o resultado do primeiro (pois o preenchimento do urn mudou), e assim por diante. Essa é a forma canônica e segura de tratar processos dependentes passo a passo.

Passo 3

Calculemos o primeiro fator: a probabilidade da primeira bola ser vermelha. No começo há \;v\; vermelhas e \;a\; azuis, total \;v+a\;. Então
P(\text{1ª é R})=\dfrac{v}{v+a}.ªé
Explicação intuitiva: escolher uma bola ao acaso entre as \;v+a\; bolas; há \;v\; favoráveis (vermelhas).

Passo 4

Se a primeira foi vermelha, depois de devolver a bola e adicionar \;k\; vermelhas, o novo número de vermelhas passa a ser \;v+k\; e o número de azuis continua \;a\;. O total passa a ser \;v+a+k\;. Assim a probabilidade da segunda ser vermelha, condicionada à primeira vermelha, é
P(\text{2ª é R}\mid \text{1ª R})=\dfrac{v+k}{v+a+k}.ªéª
Expliquei: esse quociente vem de contar vermelhas sobre total após a primeira atualização.

Passo 5

Se a segunda também foi vermelha, acrescentam‑se mais \;k\; vermelhas. Agora o número de vermelhas é \;v+2k\; e o total é \;v+a+2k\;. Logo a probabilidade da terceira ser vermelha, condicionada às duas primeiras vermelhas, é
P(\text{3ª é R}\mid \text{1ª R, 2ª R})=\dfrac{v+2k}{v+a+2k}.ªéªª
Novamente é só razão entre vermelhas e total após as duas atualizações.

Passo 6

Após três vermelhas, acrescentam‑se \;k\; vermelhas a mais; então o número de vermelhas é \;v+3k\; e o total é \;v+a+3k\;. Repare que até aqui nenhuma azul foi retirada, então o número de azuis permanece \;a\;. A probabilidade da quarta ser azul, condicionada às três primeiras vermelhas, é
P(\text{4ª é B}\mid \text{3 primeiras R})=\dfrac{a}{v+a+3k}.ªé
Explicação: ainda há \;a\; azuis entre \;v+a+3k\; bolas no total.

Passo 7

Agora aplicamos a regra do Passo 2: multiplicamos todos os fatores condicionais para obter a probabilidade conjunta da sequência desejada. Assim
\begin{aligned} P(\text{R},\text{R},\text{R},\text{B}) &= \dfrac{v}{v+a}\cdot \dfrac{v+k}{v+a+k}\cdot \dfrac{v+2k}{v+a+2k}\cdot \dfrac{a}{v+a+3k}. \end{aligned}
Podemos também escrever colocando o fator a no numerador único:
P(\text{R},\text{R},\text{R},\text{B}) = \dfrac{a\,(v)(v+k)(v+2k)}{(v+a)(v+a+k)(v+a+2k)(v+a+3k)}.
Essa é a resposta final e mostra claramente como cada seleção atualiza a composição da caixa e influencia a próxima probabilidade.

Resposta

\dfrac{v}{v+a}\cdot \dfrac{v+k}{v+a+k}\cdot \dfrac{v+2k}{v+a+2k}\cdot \dfrac{a}{v+a+3k}

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