Ex. 11 Uma caixa contém
bolas vermelhas e
bolas azuis. Uma bola é selecionada ao acaso e sua cor é observada. A bola então é devolvida à caixa e
bolas adicionais da mesma cor também são colocadas na caixa. Em seguida, uma segunda bola é selecionada ao acaso, sua cor é observada e ela é devolvida à caixa junto com
bolas adicionais da mesma cor. A cada nova seleção, o processo é repetido. Se quatro bolas são selecionadas, qual é a probabilidade de que as três primeiras sejam vermelhas e a quarta seja azul?
Passo 1
O enunciado dá isto: há inicialmente
bolas vermelhas e
bolas azuis na caixa. A cada seleção faz-se o seguinte: escolhe-se uma bola ao acaso, observa-se a cor, devolve-se a bola e adicionam‑se
bolas da mesma cor. Esse procedimento é repetido a cada nova seleção. Queremos a probabilidade de que as quatro seleções sigam a sequência: primeira vermelha, segunda vermelha, terceira vermelha e quarta azul. Em símbolos, queremos
Informações relevantes listadas:
- Inicialmente há
vermelhas e azuis. - A cada retirada da cor
devolve‑se a bola e acrescentam‑se bolas da cor . - Precisamos da probabilidade conjunta da sequência
em quatro seleções.
Passo 2
Regra que vamos usar: para eventos sequenciais, a probabilidade conjunta é o produto de probabilidades condicionais passo a passo. Mais precisamente,
Aqui
é o evento da
-ésima seleção ter a cor desejada. A ideia é: calcular a probabilidade do primeiro evento, depois a probabilidade do segundo sabendo o resultado do primeiro (pois o preenchimento do urn mudou), e assim por diante. Essa é a forma canônica e segura de tratar processos dependentes passo a passo.
Passo 3
Calculemos o primeiro fator: a probabilidade da primeira bola ser vermelha. No começo há
vermelhas e
azuis, total
. Então
Explicação intuitiva: escolher uma bola ao acaso entre as
bolas; há
favoráveis (vermelhas).
Passo 4
Se a primeira foi vermelha, depois de devolver a bola e adicionar
vermelhas, o novo número de vermelhas passa a ser
e o número de azuis continua
. O total passa a ser
. Assim a probabilidade da segunda ser vermelha, condicionada à primeira vermelha, é
Expliquei: esse quociente vem de contar vermelhas sobre total após a primeira atualização.
Passo 5
Se a segunda também foi vermelha, acrescentam‑se mais
vermelhas. Agora o número de vermelhas é
e o total é
. Logo a probabilidade da terceira ser vermelha, condicionada às duas primeiras vermelhas, é
Novamente é só razão entre vermelhas e total após as duas atualizações.
Passo 6
Após três vermelhas, acrescentam‑se
vermelhas a mais; então o número de vermelhas é
e o total é
. Repare que até aqui nenhuma azul foi retirada, então o número de azuis permanece
. A probabilidade da quarta ser azul, condicionada às três primeiras vermelhas, é
Explicação: ainda há
azuis entre
bolas no total.
Passo 7
Agora aplicamos a regra do Passo 2: multiplicamos todos os fatores condicionais para obter a probabilidade conjunta da sequência desejada. Assim
Podemos também escrever colocando o fator
no numerador único:
Essa é a resposta final e mostra claramente como cada seleção atualiza a composição da caixa e influencia a próxima probabilidade.