Para quaisquer três eventos A, B e D, tais que \mathbb{P}[D]>0. Prove que:
\mathbb{P}[A \cup B \mid D]=\mathbb{P}[A \mid D]+\mathbb{P}[B \mid D]-\mathbb{P}[A \cap B \mid D].

Passo 1

O enunciado dá três eventos A, B e D com a condição \mathbb{P}[D]>0. O que pede é provar a igualdade
\mathbb{P}[A \cup B \mid D]=\mathbb{P}[A \mid D]+\mathbb{P}[B \mid D]-\mathbb{P}[A \cap B \mid D].
Lista das informações relevantes:
  • Temos os eventos A, B e D.
  • Sabemos que \mathbb{P}[D]>0 (isso permite definir probabilidades condicionais em relação a D).
  • A tarefa é demonstrar a igualdade escrita acima.

Passo 2

Lembra da definição de probabilidade condicional (é a ferramenta central aqui). Para quaisquer eventos X e D com \mathbb{P}[D]>0 definimos
\mathbb{P}[X\mid D]=\frac{\mathbb{P}[X\cap D]}{\mathbb{P}[D]}.
Explicando: \mathbb{P}[X\mid D] é a probabilidade de X “dado que” D aconteceu; numerador \mathbb{P}[X\cap D] mede a probabilidade conjunta de X e D, e dividimos por \mathbb{P}[D] para renormalizar (porque estamos condicionando ao universo reduzido a D).

Passo 3

Usando a definição acima aplicamos direto ao lado esquerdo que queremos provar:
\mathbb{P}[A\cup B\mid D]=\frac{\mathbb{P}[(A\cup B)\cap D]}{\mathbb{P}[D]}.
Aqui apenas substituímos X por A\cup B na definição.

Passo 4

Usamos uma identidade simples de conjuntos (distributividade da interseção sobre a união):
(A\cup B)\cap D = (A\cap D)\cup (B\cap D).
Intuitivamente: estar em A\cup B e em D é a mesma coisa que (estar em A e em D) ou (estar em B e em D).

Passo 5

Substituindo a identidade do passo anterior no numerador do passo 3, obtemos
\mathbb{P}[A\cup B\mid D]=\frac{\mathbb{P}[(A\cap D)\cup (B\cap D)]}{\mathbb{P}[D]}.
Agora aplicamos a fórmula usual da probabilidade para a união de dois eventos quaisquer X e Y:
\mathbb{P}[X\cup Y]=\mathbb{P}[X]+\mathbb{P}[Y]-\mathbb{P}[X\cap Y].
Se quiseres, essa fórmula pode ser vista usando a decomposição em regiões da união (o termo -\mathbb{P}[X\cap Y] evita contagem dupla).

Passo 6

Aplicando a fórmula da união com X=A\cap D e Y=B\cap D no numerador:
\mathbb{P}[(A\cap D)\cup (B\cap D)] = \mathbb{P}[A\cap D] + \mathbb{P}[B\cap D] - \mathbb{P}[(A\cap D)\cap(B\cap D)].

Passo 7

Observa que a interseção dos dois termos do item anterior simplifica:
(A\cap D)\cap(B\cap D)=A\cap B\cap D.
Portanto, o numerador fica
\mathbb{P}[A\cap D] + \mathbb{P}[B\cap D] - \mathbb{P}[A\cap B\cap D].

Passo 8

Voltando à fração do passo 5 e substituindo o numerador simplificado, temos
\mathbb{P}[A\cup B\mid D] = \frac{\mathbb{P}[A\cap D] + \mathbb{P}[B\cap D] - \mathbb{P}[A\cap B\cap D]}{\mathbb{P}[D]}.
Agora separamos a fração em três termos:
\mathbb{P}[A\cup B\mid D] = \frac{\mathbb{P}[A\cap D]}{\mathbb{P}[D]} + \frac{\mathbb{P}[B\cap D]}{\mathbb{P}[D]} - \frac{\mathbb{P}[A\cap B\cap D]}{\mathbb{P}[D]}.

Passo 9

Reconhecemos cada fração como uma probabilidade condicional pela definição do passo 2:
\frac{\mathbb{P}[A\cap D]}{\mathbb{P}[D]}=\mathbb{P}[A\mid D],\qquad \frac{\mathbb{P}[B\cap D]}{\mathbb{P}[D]}=\mathbb{P}[B\mid D],\qquad \frac{\mathbb{P}[A\cap B\cap D]}{\mathbb{P}[D]}=\mathbb{P}[A\cap B\mid D].
Substituindo essas expressões na igualdade do passo 8 obtemos exatamente
\mathbb{P}[A\cup B\mid D]=\mathbb{P}[A\mid D]+\mathbb{P}[B\mid D]-\mathbb{P}[A\cap B\mid D],
que era o que queríamos demonstrar. Boa! Conseguimos montar isso só usando a definição e identidades de conjuntos — são as ferramentas que valem a pena decorar.

Resposta

\mathbb{P}[A \cup B \mid D]=\mathbb{P}[A \mid D]+\mathbb{P}[B \mid D]-\mathbb{P}[A \cap B \mid D].

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