Para quaisquer três eventos
e
, tais que
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado dá três eventos
,
e
com a condição
. O que pede é provar a igualdade
Lista das informações relevantes:
- Temos os eventos
, e . - Sabemos que
(isso permite definir probabilidades condicionais em relação a ). - A tarefa é demonstrar a igualdade escrita acima.
Passo 2
Lembra da definição de probabilidade condicional (é a ferramenta central aqui). Para quaisquer eventos
e
com
definimos
Explicando:
é a probabilidade de
“dado que”
aconteceu; numerador
mede a probabilidade conjunta de
e
, e dividimos por
para renormalizar (porque estamos condicionando ao universo reduzido a
).
Passo 3
Usando a definição acima aplicamos direto ao lado esquerdo que queremos provar:
Aqui apenas substituímos
por
na definição.
Passo 4
Usamos uma identidade simples de conjuntos (distributividade da interseção sobre a união):
Intuitivamente: estar em
e em
é a mesma coisa que (estar em
e em
) ou (estar em
e em
).
Passo 5
Substituindo a identidade do passo anterior no numerador do passo 3, obtemos
Agora aplicamos a fórmula usual da probabilidade para a união de dois eventos quaisquer
e
:
Se quiseres, essa fórmula pode ser vista usando a decomposição em regiões da união (o termo
evita contagem dupla).
Passo 6
Aplicando a fórmula da união com
e
no numerador:
Passo 7
Observa que a interseção dos dois termos do item anterior simplifica:
Portanto, o numerador fica
Passo 8
Voltando à fração do passo 5 e substituindo o numerador simplificado, temos
Agora separamos a fração em três termos:
Passo 9
Reconhecemos cada fração como uma probabilidade condicional pela definição do passo 2:
Substituindo essas expressões na igualdade do passo 8 obtemos exatamente
que era o que queríamos demonstrar. Boa! Conseguimos montar isso só usando a definição e identidades de conjuntos — são as ferramentas que valem a pena decorar.