Ex. 12 Sejam X e Y variáveis independentes com densidades dadas por f(x) e g(y), respectivamente. Seja Z=X+Y. Mostre que a densidade de Z pode ser escrita da forma
h(z)=integral-infty^infty f(t) g(z-t) d t
desde que esta integral seja convergente. Esta nova função h é chamada de convolução de f com g e é representada por h=f * g.

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis aleatórias independentes X e Y com densidades f(x) e g(y), e define Z = X + Y. Precisamos determinar a densidade de Z, que chamaremos de h(z). Para isso, vamos usar a definição de função de distribuição acumulada e a regra de diferenciação sob o sinal de integral.

Passo 2

Partimos da função de distribuição de Z, que é
FZ(z) = P(Z <= z) = P(X + Y <= z)
Como X e Y são independentes, a densidade conjunta é f(x),g(y), portanto
FZ(z) = integral-infty^inftyintegral-infty^,z - x g(y),dy ;f(x),dx

Passo 3

Para obter a densidade h(z), diferenciamos FZ(z) em relação a z. Aplicando a regra de diferenciação sob o sinal de integral, temos
h(z) = FZ'(z) = integral-infty^infty ddzl(integral-infty^,z - x g(y),dyr) f(x),dx = integral-infty^infty g(z - x),f(x),dx
Aqui usamos que
ddzintegral-infty^,z - x g(y),dy = g(z - x)

Passo 4

Reescrevendo a variável de integração x como t, obtemos a forma clássica da convolução, válida sempre que a integral seja convergente:
h(z) = integral-infty^infty f(t),g(z - t),dt

Resposta

h(z) = integral-infty^infty f(t),g(z - t),dt

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