Ex. 12 Sejam
e
variáveis independentes com densidades dadas por
e
, respectivamente. Seja
. Mostre que a densidade de
pode ser escrita da forma
desde que esta integral seja convergente. Esta nova função
é chamada de convolução de
com
e é representada por
.
Passo 1
O enunciado dá duas variáveis aleatórias independentes
e
com densidades
e
, e define
. Precisamos determinar a densidade de
, que chamaremos de
. Para isso, vamos usar a definição de função de distribuição acumulada e a regra de diferenciação sob o sinal de integral.
Passo 2
Partimos da função de distribuição de
, que é
Como
e
são independentes, a densidade conjunta é
, portanto
Passo 3
Para obter a densidade
, diferenciamos
em relação a
. Aplicando a regra de diferenciação sob o sinal de integral, temos
Aqui usamos que
Passo 4
Reescrevendo a variável de integração
como
, obtemos a forma clássica da convolução, válida sempre que a integral seja convergente: