Questão 5. Obtenha a representação em série de potências em torno de x=0 das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série.
(1.5 ponto) g(x)=\operatorname{senh}(x).

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de \operatorname{senh}(x) em torno de x=0 e o raio de convergência. O conteúdo é expansão em série de Taylor/Maclaurin e teste da razão para determinar o raio.

Passo 2

Começamos da definição
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Sabemos as séries de Maclaurin:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \quad e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}.

Passo 3

Subtraindo e dividindo por 2,
\operatorname{senh}(x) =\frac{1}{2}\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n!}\Bigr).
Nos termos em que n é par, \,1-(-1)^{n}=0. Nos termos em que n é ímpar, \,1-(-1)^{n}=2. Logo só restam potências ímpares.

Passo 4

Escrevendo n=2k+1, obtemos
\operatorname{senh}(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 5

Para o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão a a_{k}=\frac{1}{(2k+1)!} com x^{2k+1}:
\lim_{k\to\infty} \left|\frac{x^{2(k+1)+1}/(2(k+1)+1)!}{x^{2k+1}/(2k+1)!}\right| =\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2k+2)(2k+3)}=0<1
para todo x. Assim R=\infty.

Resposta

\operatorname{senh}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}, \quad R=\infty.

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