Questão 4. (1 ponto) Determine o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}(x+1)^{n}}{n!}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x_{0}=-1
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}(x+1)^{n}}{n!}
e pede o intervalo de convergência. Como se trata de coeficientes envolvendo n!, vamos usar o Teste da Razão para séries de potências.

Passo 2

Escrevemos o n-ésimo termo geral como
a_{n}(x)=\frac{2^{n}(x+1)^{n}}{n!}.
Aplicando o Teste da Razão, consideramos
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\right| =\left|\frac{2^{\,n+1}(x+1)^{\,n+1}/(n+1)!}{2^{n}(x+1)^{n}/n!}\right| =\left|\frac{2\,(x+1)}{n+1}\right|.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{2\,(x+1)}{n+1}\right| =0.
Como L=0<1 independe de x, a condição de convergência do Teste da Razão é satisfeita para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Do resultado do Teste da Razão segue que o raio de convergência é infinito, ou seja, a série converge para qualquer valor real de x.

Resposta

O intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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