Ex. 15:

Determinar a equaçāo cartesiana do plano que contém o ponto A(2,2,-1) e a reta
r: lx=4 y=3

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano que contém o ponto
ou seja, uma reta paralela ao eixo (z]. Vamos usar geometria analítica no espaço: para definir um plano precisamos de um ponto e de dois vetores diretores; em seguida, encontramos o vetor normal e escrevemos a equação.

Passo 2

A reta r mantém x e y constantes e z livre, logo seu vetor diretor é
vec v1=(0,0,1). Escolhemos um ponto em r, digamos
P0=(4,3,0)

Passo 3

Outro vetor diretor do plano é o que vai de P0 até A:
vec v2 = P0A = A - P0 = (2-4,;2-3,;-1-0) = (-2,-1,-1)

Passo 4

O vetor normal do plano é dado pelo produto vetorial
vec n = vec v1 times vec v2 = i & j & k 0 & 0 & 1 -2 & -1 & -1 = (1,-2,0)

Passo 5

A equação do plano com normal vec n=(1,-2,0) e que passa por A(2,2,-1) satisfaz
vec ncdotl((x,y,z)- (2,2,-1)r)=0
Isto é,
(1,-2,0)cdot(x-2,;y-2,;z+1)=0
1(x-2)-2(y-2)+0(z+1)=0
x - 2y + 2 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano é
x - 2y + 2 = 0

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