Ex. 16:

Determinar a equação geral do plano que passa por A(2,3,4) e é paralelo aos veto: v1=j+k e v2=j-k.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa por A(2,3,4) e é paralelo aos vetores vec v1=vec jmath+vec k e vec v2=vec jmath-vec k. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para achar a equação de um plano precisamos do vetor normal a ele e de um ponto por onde o plano passa. O vetor normal é obtido pelo produto vetorial de dois vetores diretores do plano.

Passo 2

Escrevemos os vetores em coordenadas e calculamos o produto vetorial para obter o normal:
vec v1=(0,1,1), vec v2=(0,1,-1)
vec n = vec v1times vec v2 = i & j & k [6pt] 0 & 1 & 1 [6pt] 0 & 1 & -1 = (-2,,0,,0)
Assim vec n=(-2,0,0) é perpendicular a ambos os vetores, e podemos usar também vec n=(1,0,0) para simplificar.]

Passo 3

Usamos a forma ponto–normal do plano: se vec n=(a,b,c) e o plano passa por (x0,y0,z0), então
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Aqui (a,b,c)=(1,0,0) e (x0,y0,z0)=(2,3,4). Substituindo,
1,(x-2) + 0,(y-3) + 0,(z-4) = 0 ;Longrightarrow; x - 2 = 0

Passo 4

A equação geral do plano, na forma ax+by+cz+d=0, é
x - 2 = 0

Resposta

x - 2 = 0

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