Ex 17) \int \frac{1}{x^{2}+6 x+13} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x^{2}+6x+13}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição após completar o quadrado no denominador, reconhecendo a forma padrão
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\bigl(\frac{u}{a}\bigr)+C.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x^{2}+6x+13. Note que
x^{2}+6x+13 = x^{2}+6x+9 +4 = (x+3)^{2} + 2^{2}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x + 3, \quad du = dx.
Assim a integral vira
\int \frac{1}{(x+3)^{2}+2^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}+2^{2}}\,du.

Passo 4

Usamos a fórmula padrão
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C,
com a=2. Logo
\int \frac{du}{u^{2}+2^{2}} = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\arctan\!\Bigl(\frac{x+3}{2}\Bigr) + C

Exercícios relacionados