Considere um planeta descrevendo uma órbita elíptica em torno do Sol, com as coordenadas escolhidas de modo que o plano do movimento tenha
\theta=\pi / 2. Pela Eq.(7.1.15), em coordenadas polares (
r, \varphi ) no plano orbital a hamiltoniana escreve-se
H=T+V=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}}\right)-\frac{k}{r}
com
k>0. Aparentemente, o teorema do virial é válido quaisquer que sejam as variáveis canônicas empregadas. Mostre que, em termos das coordenadas polares (
r, \varphi ) e de seus momentos conjugados, a Eq. (7.3.3) toma a forma
2\langle T\rangle=-\langle V\rangle-\left\langle\frac{p_{\varphi}^{2}}{m r^{2}}\right\rangle
Comparando este resultado com (7.3.11), mostre que
\left\langle p_{\varphi}^{2} / m r^{2}\right\rangle=0. Usando o fato de
p_{\varphi} ser constante de movimento e diferente de zero para órbitas elípticas, conclua que
\left\langle 1 / r^{2}\right\rangle=0. Argumente que este resultado é impossível. Examinando cuidadosamente a demonstração e as condições de validade do teorema do virial, explique as razões pelas quais o seu emprego em coordenadas polares conduz a um resultado absurdo (Chagas & Lemos 1981).