Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin ^{2} 3 t \cos ^{2} 3 t dt

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^2(3t)\,\cos^2(3t)\,dt.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e vamos usar identidades de ângulo duplo para simplificar o integrando.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin^2\theta\,\cos^2\theta = \frac14\,\sin^2(2\theta).
Aqui \theta=3t, portanto
\sin^2(3t)\,\cos^2(3t) = \frac14\,\sin^2\bigl(2\cdot3t\bigr) = \frac14\,\sin^2(6t).

Passo 3

Agora aplicamos a identidade
\sin^2 x = \frac12\bigl(1-\cos(2x)\bigr)
com x=6t. Assim
\sin^2(6t) = \frac12\bigl(1-\cos(12t)\bigr)
e o integrando fica
\sin^2(3t)\,\cos^2(3t) = \frac14\cdot\frac12\bigl(1-\cos(12t)\bigr) = \frac18\bigl(1-\cos(12t)\bigr).

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int \sin^2(3t)\,\cos^2(3t)\,dt = \int \frac18\bigl(1-\cos(12t)\bigr)\,dt = \frac18\int 1\,dt - \frac18\int \cos(12t)\,dt.
Calculamos cada parte:
\int 1\,dt = t, \qquad \int \cos(12t)\,dt = \frac{1}{12}\sin(12t).
Logo
\int \sin^2(3t)\,\cos^2(3t)\,dt = \frac18\,t - \frac18\cdot\frac1{12}\sin(12t) + C = \frac{t}{8} - \frac{\sin(12t)}{96} + C.

Resposta

\boxed{\int \sin^2(3t)\,\cos^2(3t)\,dt = \frac{t}{8} - \frac{\sin(12t)}{96} + C.}

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