Considere um planeta descrevendo uma órbita elíptica em torno do Sol, com as coordenadas escolhidas de modo que o plano do movimento tenha
. Pela Eq.(7.1.15), em coordenadas polares (
) no plano orbital a hamiltoniana escreve-se
com
. Aparentemente, o teorema do virial é válido quaisquer que sejam as variáveis canônicas empregadas. Mostre que, em termos das coordenadas polares (
) e de seus momentos conjugados, a Eq. (7.3.3) toma a forma
Comparando este resultado com (7.3.11), mostre que
. Usando o fato de
ser constante de movimento e diferente de zero para órbitas elípticas, conclua que
. Argumente que este resultado é impossível. Examinando cuidadosamente a demonstração e as condições de validade do teorema do virial, explique as razões pelas quais o seu emprego em coordenadas polares conduz a um resultado absurdo (Chagas & Lemos 1981).
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teorema do virial à Hamiltoniana de um planeta em coordenadas polares
mostrar que da forma geral obtemos
comparar esse resultado com a forma usual para potencial homogêneo de grau
,
e, daí, obter
, o que leva à contradição
. Por fim, pergunta-se por que o teorema do virial falha em coordenadas polares. Vamos usar o formalismo de Poisson e as condições de validade do virial.
Passo 2
No formalismo canônico escolhemos o gerador do virial
O teorema do virial afirma que, para sistema ligado e
limitado,
Calculamos o colchete de Poisson em
:
Como
e
, tem-se:
Observando que
e
, reescrevemos:
Passo 3
Aplicando o virial
obtemos
Passo 4
Por outro lado, para potenciais homogêneos de grau
(caso newtoniano) temos da Eq. (7.3.11)
Comparando com o resultado do passo anterior segue
Como
(órbita elíptica com momento angular constante), isso implica
, o que é impossível porque
sempre.
Passo 5
A contradição aponta que alguma hipótese do teorema do virial foi violada ao usar coordenadas polares. Na demonstração padrão assume-se que (i) as variáveis canônicas
e
variam de
a
, e (ii) o gerador
permanece limitado ao longo do movimento, de modo que
Em coordenadas polares
é um ângulo que cresce indefinidamente (não está contido num intervalo finito): após cada volta
, logo
diverge linearmente com o tempo. Portanto
não é limitado e não se pode desprezar o termo de contorno na média de
.
Resposta
O uso de coordenadas polares falha porque a coordenada angular
não é limitada, fazendo
divergir em cada volta. Assim não vale a condição essencial de que
permaneça limitado, e o teorema do virial não se aplica, levando ao resultado absurdo
.