Sejam A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ -1 & 2 & 0\end{array}\right]. Calcule
(a) A B
(b) 2 A+A B
(c) B^{t} A^{t}
(d) (2 A+A B)^{t}
(e) (A-B)^{2}
(f) \operatorname{tr}(3 A-2 B)
(g) \operatorname{tr}\left(3 A^{t}-2 B^{t}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B em \mathbb{R}^{3\times3} e pede várias operações: produto de matrizes, combinação linear, transposta, quadrado de matriz e traço. Para isso vamos usar as definições de multiplicação e soma de matrizes, a propriedade (AB)^{t}=B^{t}A^{t}, a invariança do traço por transposição e a linearidade do traço.

Passo 2

Calculamos primeiro
AB=A\cdot B
fazendo o produto linha–coluna:
AB=\begin{pmatrix} 0\cdot1+(-1)\cdot3+2\cdot(-1) & 0\cdot0+(-1)\cdot1+2\cdot2 & 0\cdot(-1)+(-1)\cdot2+2\cdot0\\[6pt] 1\cdot1+2\cdot3+3\cdot(-1) & 1\cdot0+2\cdot1+3\cdot2 & 1\cdot(-1)+2\cdot2+3\cdot0\\[6pt] (-2)\cdot1+0\cdot3+1\cdot(-1) & (-2)\cdot0+0\cdot1+1\cdot2 & (-2)\cdot(-1)+0\cdot2+1\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -5 & 3 & -2\\\\ 4 & 8 & 3\\\\ -3 & 2 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora
2A+A B=2\begin{pmatrix}0&-1&2\\\ 1&2&3\\\ -2&0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-5&3&-2\\\ 4&8&3\\\ -3&2&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&-2&4\\\ 2&4&6\\\ -4&0&2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -5&3&-2\\\ 4&8&3\\\ -3&2&2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -5&1&2\\\ 6&12&9\\\ -7&2&4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Usamos (AB)^{t}=B^{t}A^{t}. Como já tínhamos AB, basta transpor:
B^{t}A^{t}=(AB)^{t} =\begin{pmatrix}-5&3&-2\\\ 4&8&3\\\ -3&2&2\end{pmatrix}^{t} =\begin{pmatrix} -5&4&-3\\\ 3&8&2\\\ -2&3&2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para (2A+AB)^{t} tomamos a transposta do resultado do passo 3:
(2A+AB)^{t} =\begin{pmatrix}-5&1&2\\\ 6&12&9\\\ -7&2&4\end{pmatrix}^{t} =\begin{pmatrix} -5&6&-7\\\ 1&12&2\\\ 2&9&4 \end{pmatrix}.

Passo 6

Primeiro A-B:
A-B=\begin{pmatrix}0&-1&2\\\ 1&2&3\\\ -2&0&1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1&0&-1\\\ 3&1&2\\\ -1&2&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&-1&3\\\ -2&1&1\\\ -1&-2&1\end{pmatrix}.
Então (A-B)^{2}=(A-B)(A-B). Fazendo o produto:
(A-B)^{2} =\begin{pmatrix}-1&-1&3\\\ -2&1&1\\\ -1&-2&1\end{pmatrix}^{2} =\begin{pmatrix} 0 & -6 & -1\\\\ -1& 1 & -4\\\\ 4 & -3 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 7

Para o traço usamos linearidade:
\tr(3A-2B)=3\,\tr(A)-2\,\tr(B).
Como \tr(A)=0+2+1=3 e \tr(B)=1+1+0=2, obtemos
\tr(3A-2B)=3\cdot3-2\cdot2=9-4=5.

Passo 8

Finalmente \tr(3A^{t}-2B^{t})=3\,\tr(A^{t})-2\,\tr(B^{t}). Mas \tr(A^{t})=\tr(A) e \tr(B^{t})=\tr(B), logo dá o mesmo valor:
\tr(3A^{t}-2B^{t})=5.

Resposta

(a) \displaystyle AB=\begin{pmatrix}-5&3&-2\\\ 4&8&3\\\ -3&2&2\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle 2A+AB=\begin{pmatrix}-5&1&2\\\ 6&12&9\\\ -7&2&4\end{pmatrix}.
(c) \displaystyle B^{t}A^{t}=\begin{pmatrix}-5&4&-3\\\ 3&8&2\\\ -2&3&2\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle (2A+AB)^{t}=\begin{pmatrix}-5&6&-7\\\ 1&12&2\\\ 2&9&4\end{pmatrix}.
(e) \displaystyle (A-B)^{2}=\begin{pmatrix}0&-6&-1\\\ -1&1&-4\\\ 4&-3&-4\end{pmatrix}.
(f) \displaystyle \tr(3A-2B)=5.
(g) \displaystyle \tr(3A^{t}-2B^{t})=5.

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