Considere o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+z=5 \\\\ 2 x-2 z=2 \\\\ -y+2 z=0\end{array}\right.
(a) Escreva a sua matrix aumentada.
(b) Use o método de Gauss - Jordan para colocá-la na forma escalonada reduzida.
(c) Encontre a solução do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares em três incógnitas (x,y,z):
\begin{cases} x + y + z = 5,\\\\ 2x - 2z = 2,\\\\ -y + 2z = 0.
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares pelo método de Gauss–Jordan. Vamos precisar montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para chegar à forma escalonada reduzida e daí ler a solução.

Passo 2

A matriz aumentada correspondente é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 5\\\\ 2 & 0 & -2 & 2\\\\ 0 & -1 & 2 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminando o coeficiente de x na segunda linha usando R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 5\\\\ 0 & -2 & -4 & -8\\\\ 0 & -1 & 2 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Agora colocamos o pivô na coluna de y: trocamos R_2 com R_3, em seguida escalonamos R_2 e eliminamos em R_1 e R_3:
\begin{aligned} R_2 &\leftrightarrow R_3,\\\ R_2 &\leftarrow -1\cdot R_2,\\\ R_1 &\leftarrow R_1 - R_2,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 + 2R_2 \end{aligned} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 5\\\\ 0 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & -8 & -8 \end{array}\right].

Passo 5

Finalmente, escalonamos a terceira linha e eliminamos os coeficientes de z acima:
\begin{aligned} R_3 &\leftarrow -\tfrac{1}{8}R_3,\\\ R_1 &\leftarrow R_1 - 3R_3,\\\ R_2 &\leftarrow R_2 + 2R_3 \end{aligned} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].

Resposta

(a) \displaystyle\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 5\\\\ 2 & 0 & -2 & 2\\\\ 0 & -1 & 2 & 0 \end{array}\right]
(b) \displaystyle\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
(c) \;x=2,\;y=2,\;z=1.

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