Ex. 19:

Determinar o ângulo entre os planos
pi1: 2 x-3 y+5 z-8=0
e:
pi2: 3 x+2 y+5 z-4=0

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos o ângulo entre dois planos em R^3. O conteúdo principal aqui é vetor normal a um plano e produto escalar, pois o ângulo entre planos é dado pelo ângulo formado entre os seus vetores normais.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano a partir dos coeficientes de x,y,z:
n1 = (2,, -3,, 5), n2 = (3,, 2,, 5)

Passo 3

A fórmula para o ângulo phi entre planos é
phi = arccos!l(l|n1 cdot n2r|/l(|n1|;|n2|r)r)
Isso garante que escolhemos sempre o menor ângulo entre as normais.

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
n1 cdot n2 = 2cdot3 + (-3)cdot2 + 5cdot5 = 6 - 6 + 25 = 25,
|n1| = raiz2^2 + (-3)^2 + 5^2 = raiz4 + 9 + 25 = raiz38, |n2| = raiz3^2 + 2^2 + 5^2 = raiz9 + 4 + 25 = raiz38

Passo 5

Substituindo na fórmula:
phi = arccos!l(25raiz38,raiz38r) = arccos!l(2538r)

Resposta

phi = arccos!l(2538r)

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