Ex. 2: Em aula, desenvolvemos o termo da força gradiente de pressão na direção x. Agora, repita o mesmo raciocínio para o eixo y, seguindo os passos abaixo:
a) Considere um pequeno elemento de fluido retangular de dimensões d x, d y e d z.
b) Escreva as forças de pressão que atuam nas faces dianteira e traseira do elemento, perpendiculares ao eixo y.
c) Desenvolva a diferença entre essas forças utilizando uma expansão de Taylor até a primeira ordem.
d) Divida o resultado pela massa do elemento de fluido para obter a aceleração devida ao gradiente de pressão na direção y.
e) Escreva o resultado final e interprete fisicamente o sinal negativo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente repita o raciocínio feito para a direção x, agora para a direção y. Em particular devemos:
Considerar um pequeno elemento de fluido retangular com dimensões \,dx,\;dy,\;dz.
Escrever as forças de pressão que atuam nas duas faces perpendiculares ao eixo y (a face na posição y e a face na posição y+dy).
Desenvolver a diferença entre essas forças usando uma expansão de Taylor até a primeira ordem.
Dividir a força resultante pela massa do elemento para encontrar a aceleração na direção y causada pelo gradiente de pressão.
Interpretar o sinal negativo que aparecerá no resultado final.
Informações dadas / assumidas que usaremos:
Pressão local é uma função p=p(x,y,z,t); aqui vamos considerar variação apenas em y para este cálculo local: p=p(y) quando avaliamos as faces.
Área de cada face perpendicular a y é dA = dx\,dz.
Volume do elemento é dV = dx\,dy\,dz.
Massa do elemento é m=\rho\,dV, onde \rho é a densidade (local) do fluido.
Vamos trabalhar com termos até primeira ordem em dy (ou seja, desprezamos termos de ordem dy^2 e maiores).
Passo 2
Descrever as forças de pressão nas faces perpendiculares a y.
Escolhemos o eixo y positivo para cima. As duas faces relevantes são:
Face na posição y (face “inferior” do elemento). A área é dA=dx\,dz. A pressão ali é p(y).
Face na posição y+dy (face “superior”). A área é dA=dx\,dz. A pressão ali é p(y+dy).
Agora, atenção ao sentido das forças: a pressão externa empurra o elemento para dentro. Portanto:
Na face em y, a força sobre o elemento devido à pressão tem sentido positivo em y (empurra de baixo para cima) e magnitude p(y)\,dA.
Na face em y+dy, a força sobre o elemento devido à pressão tem sentido negativo em y (empurra de cima para baixo) e magnitude p(y+dy)\,dA.
Assim, a força total na direção y devido às pressões nas faces é
F_y = p(y)\,dA - p(y+dy)\,dA.
Passo 3
Explicação e uso da expansão de Taylor até a primeira ordem.
Queremos desenvolver p(y+dy) em torno de y. A expansão de Taylor de primeira ordem (linear) diz que, para uma função diferenciável p(y),
Aqui \partial p/\partial y é a derivada parcial de p em relação a y, que mede a taxa de variação de pressão por unidade de deslocamento em y. Como vamos trabalhar no limite de um elemento infinitesimal, desprezamos os termos \mathcal{O}(dy^2).
Comentário didático: a derivada \partial p/\partial y aparece porque a pressão na face superior difere ligeiramente da pressão na face inferior — essa diferença é, ao primeiro ordem, justamente a derivada multiplicada por dy.
Passo 5
Calcular a aceleração dividindo pela massa do elemento.
A massa do pequeno elemento é m=\rho\,dV, onde \rho é a densidade local do fluido (pode depender de y, mas para um elemento infinitesimal usamos o valor local). Pela segunda lei de Newton (força resultante = massa × aceleração), a aceleração na direção y devido apenas ao gradiente de pressão é
Explicação das quantidades: a_y é a aceleração (variação da velocidade por unidade de tempo) na direção y; \rho é massa por unidade de volume; \partial p/\partial y tem unidades de pressão por comprimento, então (1/\rho)(\partial p/\partial y) tem unidades de aceleração, como esperado.
Passo 6
Interpretação física do sinal negativo (a parte conceitual, com exemplo simples).
O sinal negativo significa que a aceleração do fluido aponta na direção de menor pressão. Mais precisamente:
Se \partial p/\partial y > 0 (a pressão aumenta quando y aumenta), então a_y < 0, ou seja, o elemento é acelerado para valores menores de y (para baixo).
Se \partial p/\partial y < 0 (a pressão diminui quando y aumenta), então a_y > 0, ou seja, o elemento é acelerado para valores maiores de y (para cima).
Exemplo concreto e simples para fixar: suponha p(y)=p_0 - k y com k>0. Então \partial p/\partial y = -k. Aceleração fica
a_y = -\frac{1}{\rho}(-k) = \frac{k}{\rho} > 0,
ou seja, o elemento acelera no sentido positivo de y, da região de maior pressão (em baixo) para região de menor pressão (em cima). Isso bate com a intuição: fluidos são “empurrados” das regiões de alta pressão para regiões de baixa pressão.
Passo 7
Observações finais e hipóteses usadas (para você lembrar na hora da prova).
Usamos a expansão de Taylor até primeira ordem, o que é válido para elementos infinitesimais (dy muito pequeno).
Assumimos que as forças viscosas e outras forças (como gravidade) não foram incluídas aqui; esse cálculo trata apenas do termo advindo do gradiente de pressão.
Assumimos que a densidade \rho permite cancelamento com dV; se \rho variar muito no volume, para maior rigor deveríamos tratar \rho=\rho(y) e integrar, mas para equações do movimento em fluidos usa-se localmente m=\rho dV com \rho avaliada no ponto.
Resultado muito usado nas equações de Navier–Stokes: o termo do gradiente de pressão aparece como -\nabla p/\rho; aqui derivamos a componente y, que é exatamente -\frac{1}{\rho}\partial p/\partial y.
Resposta
a_y = -\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial p}{\partial y}\nO sinal negativo indica que a aceleração aponta na direção de queda da pressão (do ponto de maior pressão para o de menor pressão).