Ex. 1: A equação de Navier-Stokes é a forma matemática da segunda lei de Newton aplicada a um fluido. Ela representa o balanço entre as forças que atuam em um volume de fluido e sua aceleração resultante.
a) Explique, em etapas, como se chega à forma geral da equação de Navier-Stokes usada em oceanografia, indicando os princípios físicos e hipóteses envolvidas em cada passo (use suas próprias palavras).
b) Escreva a equação geral do movimento (equação de Navier-Stokes) em sua forma vetorial e, em seguida, escreva suas três componentes (
e z) sem usar o operador diferencial nabla
. Indique o significado físico de cada termo presente nas quatro equações.
a) Explique, em etapas, como se chega à forma geral da equação de Navier-Stokes usada em oceanografia, indicando os princípios físicos e hipóteses envolvidas em cada passo (use suas próprias palavras).
b) Escreva a equação geral do movimento (equação de Navier-Stokes) em sua forma vetorial e, em seguida, escreva suas três componentes (
Passo 1
Você pediu duas coisas: (a) uma explicação, em etapas, de como se chega à forma geral da equação de Navier–Stokes usada em oceanografia, indicando os princípios físicos e as hipóteses em cada passo; (b) que eu escreva a equação geral do movimento (Navier–Stokes) em forma vetorial e, depois, suas três componentes
sem usar o operador
, e que eu indique o significado físico de cada termo presente nas quatro equações.
Informações implícitas que vou usar: trata-se de fluidos geofísicos (oceanos), então vou considerar a possibilidade de usar quadro de referência rotante, a aproximação de Boussinesq, e as aproximações usuais de mistura turbulenta/viscosidade eddy para escala oceânica — tudo isso será justificado passo a passo.
Informações implícitas que vou usar: trata-se de fluidos geofísicos (oceanos), então vou considerar a possibilidade de usar quadro de referência rotante, a aproximação de Boussinesq, e as aproximações usuais de mistura turbulenta/viscosidade eddy para escala oceânica — tudo isso será justificado passo a passo.
Passo 2
Começamos pelo princípio físico fundamental: a segunda lei de Newton aplicada a um volume de fluido. Em palavras: “a taxa de variação do momento linear de uma porção do fluido (aceleração) é igual à soma das forças aplicadas sobre ela”. Para transformar essa frase em contas precisamos de duas ideias-chave:
-
O que entendemos por aceleração de um elemento de fluido?
- Introduzo o derivativo material (derivada que segue a partícula de fluido):
. - No formalismo, a derivada material é escrita como a soma de duas partes: a derivada local (variação no tempo num ponto fixo) e a advecção (variação espacial provocada pelo movimento do fluido). Em fórmula:
ondeé o vetor velocidade (componentes nas direções ). - Ensino rápido:
é “quanto a velocidade muda no tempo em um ponto fixo”; é “a parcela da mudança de velocidade que ocorre porque a partícula está se movendo para zonas com velocidades diferentes” — isto é a não-linearidade advecção.
- Introduzo o derivativo material (derivada que segue a partícula de fluido):
-
O que são as forças que atuam no fluido?
- Forças de superfície (tração) como pressão e esforços viscosos (tensão), e forças de volume como gravidade e forças de corpo externas (e.g., forças de vento aplicadas como estresse na superfície, força de Coriolis em quadro rotante).
- Para transformar trações em termos de pressão e tensões precisamos da noção de tensor de tensões e da hipótese de fluido newtoniano (tensão viscoelástica proporcional à taxa de deformação). Essa hipótese conduz, sob simplificações (fluido incompressível, viscosidade constante), à forma simples de termo viscoso proporcional ao laplaciano da velocidade.
No próximo passo transformamos essas ideias em equações concretas.
Passo 3
Equação da conservação de massa (continuity) e a hipótese de incompressibilidade / Boussinesq:
- Conservação de massa geral (compressível):
. Aqui é a densidade. - Em oceanografia, para movimentos de interesse (escala espacial de km a milhares de km e velocidades relativamente pequenas), variações de densidade por pressão são pequenas. Adotamos a aproximação de Boussinesq: densidade é constante
em termos de massa (exceto quando multiplica para calcular flutuabilidade), o que simplifica a equação de continuidade para incompressibilidade: - Ensino didático: Boussinesq permite tratar o fluido como incompressível para a dinâmica, mas ainda manter os efeitos de densidade variável quando aparecem multiplicando a gravidade (ou seja, para empuxo/estratificação).
Passo 4
Forças internas: pressão e viscosidade (tensão).
- Pressão: é uma força normal por unidade de área que atua em superfícies do fluido; sua contribuição por unidade de massa é
(gradiente de pressão dividido pela densidade). Esse termo tende a acelerar o fluido de regiões de alta pressão para baixa pressão. - Viscosidade molecular (Newtoniana): se o fluido for newtoniano e a viscosidade for constante, o efeito das tensões viscosas aparece, na equação de momento, como um termo de difusão da velocidade proporcional ao laplaciano:
, onde é a viscosidade cinemática ( ). - Em oceanografia real, a viscosidade molecular é extremamente pequena; portanto praticamos uma parametrização turbulenta: adicionamos viscosidade eddy (coeficientes de viscosidade turbulenta) que podem ser diferentes nas direções horizontal e vertical (anisotropia), resultando em termos do tipo
.
Passo 5
Forças externas: gravidade, rotação da Terra (Coriolis), forças de superfície/forçantes.
- Gravidade: força volumétrica
. Sob Boussinesq, a parte devido à densidade de referência é geralmente absorvida em uma pressão hidrostática de referência; a variação residual gera a força de flutuabilidade . Isso é o que causa estratificação estável/instável. - Rotação da Terra: trabalhar num quadro de referência rotante gera termos de força aparente. O grande contribuidor é a força de Coriolis
, com vetor rotação da Terra; para muitos problemas locais usa-se o parâmetro de Coriolis (plano -plane) e a aproximação de beta-plane quando se permite variação meridional . A componente centrífuga pode ser incorporada em uma pressão modificada e normalmente é omitida explicitamente. - Forçantes de superfície: vento na superfície aparece como tensão de cisalhamento (fluxo de momento), fluxo de calor e de sal trocam densidade via equação de estado. Força de maré, fluxo de rios, e interação com o leito (atrito de fundo) também entram como termos de força ou condições de contorno.
Passo 6
Escrever mentalmente a soma das contribuições (antes de simplificar): derivada material (aceleração) = pressão + viscosidade + Coriolis + gravidade/empuxo + forçantes externas. As hipóteses que fazemos para chegar a fórmulas utilizáveis são:
- Newtoniano + viscosidade constante (ou parametrizada por viscosidade eddy anisotrópica).
- Boussinesq (incompressível exceto no termo de empuxo).
- Quadro rotante com Coriolis explicitado.
- Possível aproximação hidrostática (ver passo 7) se desejarmos as equações primitivas usadas em grande escala.
Cada hipótese é justificada por análise de escalas: razão entre aceleração vertical e pressão vertical, número de Reynolds grande (indica turbulência), ordem de grandeza de forças de inércia vs Coriolis (número de Rossby), etc. Eu explico essas comparações qualitativamente (ou quantitativamente se necessário) para saber quando aplicar cada aproximação.
Passo 7
Hydrostatic approximation (aproximação hidrostática) — quando se usa e por quê:
- Em escalas horizontais grandes (centenas de km) e tempos longos, a aceleração vertical
é pequena comparada às variações verticais do gradiente de pressão e à gravidade. Fazendo uma análise de escala, chega-se à balança vertical: que é a equação hidrostática . - Essa aproximação elimina a equação de momento vertical dinâmica (substitui-a por hidrostática) e leva às equações “primitivas” usadas amplamente em oceanografia atmosférica e oceânica para grande escala. Vou mencionar que para fenômenos de pequena escala (ex.: convecção intensa, ondas internas de pequena escala, tsunamis de profundidade comparável ao comprimento), a hidrostática pode falhar — aí a equação completa de Navier–Stokes vertical é necessária.
Passo 8
Fechar com condições de contorno — por que são cruciais:
- Na superfície livre: condição cinemática (velocidade vertical igual à taxa de variação da superfície), e condição dinâmica (estresse de vento aplicado); também troca de calor e sal que alteram densidade.
- No fundo: condição de atrito (no limite extremo, não deslizamento absoluto/no-slip ou parametrizações de camada limite de fundo) e topografia que força fluxo.
- Laterais: contornos de contêiner ou condições abertas/absorventes em modelos numéricos.
Sem condições de contorno apropriadas a solução não está determinada.
Passo 9
Resumo das hipóteses finais que caracterizam a “equação de Navier–Stokes usada em oceanografia” (lista curta e direta, que vou usar na forma final):
- Conservação de massa sob Boussinesq (incompressibilidade):
. - Derivada material para aceleração:
. - Pressão fornece gradiente que acelera o fluido; gravidade aparece como empuxo (densidade anômala vezes
). - Rotação: Coriolis
(ou em aproximações locais). - Viscosidade/turbulência: termo difusivo com coeficientes possivelmente anisótropos (eddy viscosities).
- Opcionalmente: hidrostática
para grande escala, e equação de estado para ligar densidade a temperatura/sal.
Passo 10
Agora, antes de escrever explicitamente a equação vetorial e as três componentes, descrevo os termos que aparecerão — assim você já entende cada símbolo na forma final. Vou listar os termos típicos e explicar o significado físico, sem ainda agrupar em uma única linha final:
-
— aceleração local: quanto a velocidade muda com o tempo em um ponto fixo no espaço. -
— advecção ou transporte não-linear do momento: mudança da velocidade porque as partículas se movem para posições com velocidades diferentes. Esse termo é responsável por fenômenos não-lineares e complexos (vorticidade, etc.). -
(ou ) — força de Coriolis: desvia movimentos devido à rotação da Terra; age perpendicular à velocidade; muito importante em escala geofísica. -
— gradiente de pressão por unidade de massa: acelera o fluido de regiões de maior pressão para menor pressão; equilibrado com Coriolis em geostrófico. -
(ou versões anisotrópicas) — difusão viscosa do momento: representa dissipação e mistura por viscosidade molecular ou turbulenta (eddy viscosity). Age para suavizar gradientes de velocidade. -
ou — gravidade/empuxo: empurra para baixo a massa e gera forças de flutuabilidade quando a densidade local difere da referência. -
— outras forças externas por unidade de massa: vento, marés, atrito de fundo, etc.
Esses significados serão usados ao lado das equações finais para facilitar sua leitura.
Passo 11
Aviso prático para a prova (dica de amigo): quando for pedir só a forma usada em oceanografia, mencione sempre as hipóteses usadas (Boussinesq, rotação, viscosidade turbulenta, hidrostática quando for o caso). Em uma prova, quase sempre querem que você escreva a forma vetorial com Coriolis e com o termo viscoso parametrizado; e/ou as equações primitivas hidrostáticas. Agora eu apresento a forma final pedida, compacta e explícita (vetorial e componentes sem usar
nas componentes), para você conferir facilmente.
Resposta
a) Principais princípios e hipóteses: conservação de massa (Boussinesq → incompressibilidade), conservação do momento (segunda lei de Newton → derivada material
), fluido newtoniano ou parametrização turbulenta (termo viscoso do tipo laplaciano/eddy viscosities), quadro rotante (força de Coriolis
ou
), gravidade/empuxo (densidade perturbativa
multiplicando
), e (opcional) aproximação hidrostática
para grande escala; além de condições de contorno (vento na superfície, atrito de fundo).
b) Equação vetorial (quadro rotante, Boussinesq, termos viscosos representados por viscosidade efetiva
, pressão
, densidade de referência
e força externa por unidade de massa
):
Três componentes (sem usar
; com
,
,
, e
densidade de referência):
Significado físico dos termos (aplicável às quatro equações acima):
-
: aceleração local (variação temporal da componente de velocidade num ponto fixo). -
: advecção (transporte não-linear do momento pela própria velocidade). -
(componentes mostradas acima): força de Coriolis (desvio devido à rotação da Terra; atua perpendicular ao movimento). -
: gradiente de pressão por unidade de massa (acelera o fluido de altas para baixas pressões). -
vezes as segundas derivadas espaciais: difusão viscosa do momento (representa dissipação molecular/turbulenta e mistura; em oceanografia real costuma ser uma viscosidade eddy anisotrópica). -
(aparece só na componente vertical): força de flutuabilidade/empuxo (densidade anômala gera aceleração vertical). -
: forças externas específicas por unidade de massa (estresse do vento, atrito de fundo, forçantes de maré, etc.).
(Complemento útil: equação de continuidade incompressível que acompanha essas equações)