Romeo (massa M_{R}=113 \mathrm{~kg} ) e Julieta (massa M_{J}=53,2 \mathrm{~kg} ) estão em extremidades opostas de um barco, que tem massa m_{b}=80,0 \mathrm{~kg}, comprimento L=3,88 \mathrm{~m} e encontra-se inicialmente em repouso sobre as águas calmas de um lago. Romeu toca uma música no violão para Julieta,
(a) Qual a posição inicial do centro de massa do sistema em um eixo coordenado com origem na posição inicial de Julieta?
(b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema?
(c) Quanto o barco terá se deslocado, em módulo e em relação às margens do lago, quando Julieta chegar onde Romeu está?
(d) Que importante lei física você usou na resolução deste problema? Por que pode usá-la?

Passo 1

Vou reorganizar o enunciado e listar o que é pedido e o que foi dado (tudo bem explicadinho, sem resolver nada ainda).
Dados (pegar do enunciado):
M_{R}=113\\ \mathrm{kg},\qquad M_{J}=53{,}2\\ \mathrm{kg},\qquad m_{b}=80{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad L=3{,}88\\ \mathrm{m}.
Origem do eixo: posição inicial de Julieta (ou seja, inicialmente \,x_{J0}=0). O barco tem comprimento L e está inicialmente em repouso; Romeu está na outra extremidade do barco, portanto inicialmente \,x_{R0}=L. O centro do barco (centro de massa do casco) inicialmente está em \,x_{b0}=L/2.
Perguntas:
(a) Qual a posição inicial do centro de massa do sistema (sistema = Romeu + Julieta + barco) no eixo com origem em Julieta?
(b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema?
(c) Quando Julieta chegar onde Romeu está (ou seja, quando ela foi da extremidade esquerda do barco até a extremidade direita do barco, encontrando Romeu), quanto o barco terá se deslocado em módulo e em relação às margens do lago (i.e., qual a deslocamento do barco relativo às margens/à terra)?
(d) Qual a lei física usada e por que podemos usá-la?

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (aula curta e prática): centro de massa de um sistema discreto de partículas.
Se temos partículas (ou corpos) com massas m_i em posições x_i (no mesmo eixo), a posição do centro de massa do sistema é
x_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i}.
Aqui, \,x_{\mathrm{cm}} é a posição do centro de massa medida no mesmo eixo; m_i são as massas e x_i as posições dessas massas. No nosso problema os termos serão os três corpos: Julieta, Romeu e o barco (podemos tratar o barco como concentrado em seu centro).
Também é crucial a idéia física: se não há força externa resultante na direção considerada (aqui, horizontal), o momento linear total é conservado. Se o sistema começa em repouso, o momento total é zero e, portanto, o centro de massa não se desloca — sua velocidade é zero. Vou usar isso detalhadamente adiante, mas é a razão pela qual podemos relacionar posições iniciais e finais sem conhecer as forças internas.

Passo 3

(a) Calcular a posição inicial do centro de massa usando a fórmula.
Variáveis:
x_{J0}=0,\qquad x_{R0}=L,\qquad x_{b0}=L/2.
Total de massa:
M_{\text{tot}}=M_{J}+M_{R}+m_{b}=53{,}2+113+80{,}0=246{,}2\\ \mathrm{kg}.
Aplicando a fórmula do centro de massa:
x_{\mathrm{cm},0}=\frac{M_{J}x_{J0}+M_{R}x_{R0}+m_{b}x_{b0}}{M_{\text{tot}}} =\frac{M_{J}\cdot 0 + M_{R}\cdot L + m_{b}\cdot \dfrac{L}{2}}{M_{\text{tot}}}.
Agora substituímos os números (faço as contas passo a passo):
M_{R}\cdot L = 113\cdot 3{,}88 = 438{,}44\\ \mathrm{kg\cdot m},
m_{b}\cdot \frac{L}{2} = 80{,}0\cdot 1{,}94 = 155{,}20\\ \mathrm{kg\cdot m}.
Somando o numerador:
\text{numerador}=0+438{,}44+155{,}20=593{,}64\\ \mathrm{kg\cdot m}.
Dividindo:
x_{\mathrm{cm},0}=\frac{593{,}64}{246{,}2}\\ \mathrm{m}\approx 2{,}4108\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
x_{\mathrm{cm},0}\approx 2{,}41\\ \mathrm{m}.

Passo 4

(b) Velocidade do centro de massa.
Explicação didática: O único modo de mudar a velocidade do centro de massa é ter uma força externa resultante na direção considerada. No problema, assume-se águas calmas e desprezamos forças horizontais externas (o empuxo vertical e o peso são verticais; as forças horizontais entre pessoas e barco são internas ao sistema). Portanto não há força externa horizontal; o momento linear total é conservado. Como o sistema começa em repouso, o momento total inicial é zero, então o momento fica zero em todo o processo e a velocidade do centro de massa é
v_{\mathrm{cm}}=0\\ \mathrm{m/s}.
(É a consequência direta da conservação do momento linear.)

Passo 5

(c) Deslocamento do barco quando Julieta chega onde Romeu está.
Primeiro interpretar com clareza: “quando Julieta chegar onde Romeu está” significa que Julieta caminha da extremidade esquerda do barco até a extremidade direita e encontra Romeu nessa extremidade. Em termos das posições finais (no referencial do lago/ margem): Romeo continua na extremidade direita do barco (posição relativa ao barco inalterada), e Julieta passa a ocupar essa mesma extremidade direita. Portanto, no instante final ambos (Romeu e Julieta) estão na extremidade direita do barco. Chamemos x_{b,f} a posição final do centro do barco (em relação à origem usada no (a)).
Posições finais em função de x_{b,f}:
x_{J,f}=x_{R,f}=x_{b,f}+\frac{L}{2}, \qquad x_{b,f}=x_{b,f}\\ \text{(centro do barco)}.
Como o centro de massa não se move ( x_{\mathrm{cm},f}=x_{\mathrm{cm},0}), aplicamos a fórmula do centro de massa no final:
x_{\mathrm{cm},0}=\frac{M_{J}x_{J,f}+M_{R}x_{R,f}+m_{b}x_{b,f}}{M_{\text{tot}}} =\frac{(M_{J}+M_{R})\bigl(x_{b,f}+\dfrac{L}{2}\bigr)+m_{b}x_{b,f}}{M_{\text{tot}}}.
Simplifico o numerador:
(M_{J}+M_{R})\bigl(x_{b,f}+\tfrac{L}{2}\bigr)+m_{b}x_{b,f} = (M_{J}+M_{R})x_{b,f} + (M_{J}+M_{R})\tfrac{L}{2} + m_{b}x_{b,f} = M_{\text{tot}}\,x_{b,f} + (M_{J}+M_{R})\tfrac{L}{2}.
Então:
x_{\mathrm{cm},0}= \frac{M_{\text{tot}}\,x_{b,f} + (M_{J}+M_{R})\dfrac{L}{2}}{M_{\text{tot}}} = x_{b,f} + \frac{(M_{J}+M_{R})}{M_{\text{tot}}}\cdot \frac{L}{2}.
Isolando x_{b,f}:
x_{b,f}= x_{\mathrm{cm},0} - \frac{(M_{J}+M_{R})}{M_{\text{tot}}}\cdot \frac{L}{2}.
Substituo os valores já calculados:
M_{J}+M_{R}=53{,}2+113=166{,}2\\ \mathrm{kg}, \quad M_{\text{tot}}=246{,}2\\ \mathrm{kg}, \quad \frac{L}{2}=1{,}94\\ \mathrm{m}, \quad x_{\mathrm{cm},0}\approx 2{,}4108\\ \mathrm{m}.
Calculo do termo:
\frac{(M_{J}+M_{R})}{M_{\text{tot}}}\cdot \frac{L}{2} = \frac{166{,}2}{246{,}2}\cdot 1{,}94 \approx 1{,}3090\\ \mathrm{m}.
Logo
x_{b,f}\approx 2{,}4108 - 1{,}3090 = 1{,}1018\\ \mathrm{m}.
A posição inicial do centro do barco era x_{b0}=L/2=1{,}94\\ \mathrm{m}. Assim o deslocamento do barco (do seu centro) é
\Delta x_{b}=x_{b,f}-x_{b0}=1{,}1018-1{,}94\approx -0{,}8382\\ \mathrm{m}.
O sinal negativo indica que o barco deslocou-se na direção negativa do eixo que escolhemos — isto é, em direção à margem onde Julieta estava inicialmente (para a esquerda, voltando em direção à origem). Em módulo:
|\Delta x_{b}|\approx 0{,}838\\ \mathrm{m}.
Interpretação física e resposta clara: quando Julieta vai até a extremidade onde Romeu está, o barco desloca-se cerca de 0{,}838\\ \mathrm{m} em direção à margem onde Julieta começou (ou seja, o barco recua em direção à margem esquerda). Isso ocorre porque, para manter o centro de massa do sistema fixo, o casco tem que deslocar-se na direção oposta ao movimento relativo da pessoa.

Passo 6

Confirmação rápida e comentário prático (didático):
  • Se Julieta caminha para a direita em relação ao barco, as forças que ela aplica tendem a empurrar o barco para a esquerda; o sistema inteiro não sente força externa horizontal significativa, então o centro de massa não se move. Como o centro de massa era mais adiante (em x\approx 2{,}41\\ \mathrm{m}), o casco desloca-se para a esquerda para compensar a mudança de distribuição de massa.
  • Todas as contas foram feitas sem desprezar dados do enunciado; tratei o barco como massa concentrada no seu centro (válido para casco homogêneo) e considerei que não há forças horizontais externas significativas (águas calmas, atrito horizontal desprezível).

Resposta

(a) x_{\mathrm{cm},0}\approx 2{,}41\\ \mathrm{m}.
(b) v_{\mathrm{cm}}=0\\ \mathrm{m/s}.
(c) Deslocamento do barco: módulo |\Delta x_{b}|\approx 0{,}838\\ \mathrm{m}; direção: em direção à margem onde Julieta estava inicialmente (ou seja, o barco deslocou-se 0{,}838\\ \mathrm{m} para a esquerda no nosso eixo).
(d) Lei usada: conservação do momento linear (equivalente: o centro de massa do sistema permanece em repouso), porque não há força externa horizontal resultante atuando no sistema (forças entre pessoas e barco são internas).

Exercícios relacionados