Romeo (massa
) e Julieta (massa
) estão em extremidades opostas de um barco, que tem massa
, comprimento
e encontra-se inicialmente em repouso sobre as águas calmas de um lago. Romeu toca uma música no violão para Julieta,
(a) Qual a posição inicial do centro de massa do sistema em um eixo coordenado com origem na posição inicial de Julieta?
(b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema?
(c) Quanto o barco terá se deslocado, em módulo e em relação às margens do lago, quando Julieta chegar onde Romeu está?
(d) Que importante lei física você usou na resolução deste problema? Por que pode usá-la?
(a) Qual a posição inicial do centro de massa do sistema em um eixo coordenado com origem na posição inicial de Julieta?
(b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema?
(c) Quanto o barco terá se deslocado, em módulo e em relação às margens do lago, quando Julieta chegar onde Romeu está?
(d) Que importante lei física você usou na resolução deste problema? Por que pode usá-la?
Passo 1
Vou reorganizar o enunciado e listar o que é pedido e o que foi dado (tudo bem explicadinho, sem resolver nada ainda).
Dados (pegar do enunciado):
Origem do eixo: posição inicial de Julieta (ou seja, inicialmente
). O barco tem comprimento
e está inicialmente em repouso; Romeu está na outra extremidade do barco, portanto inicialmente
. O centro do barco (centro de massa do casco) inicialmente está em
.
Perguntas:
(a) Qual a posição inicial do centro de massa do sistema (sistema = Romeu + Julieta + barco) no eixo com origem em Julieta?
(b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema?
(c) Quando Julieta chegar onde Romeu está (ou seja, quando ela foi da extremidade esquerda do barco até a extremidade direita do barco, encontrando Romeu), quanto o barco terá se deslocado em módulo e em relação às margens do lago (i.e., qual a deslocamento do barco relativo às margens/à terra)?
(d) Qual a lei física usada e por que podemos usá-la?
(a) Qual a posição inicial do centro de massa do sistema (sistema = Romeu + Julieta + barco) no eixo com origem em Julieta?
(b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema?
(c) Quando Julieta chegar onde Romeu está (ou seja, quando ela foi da extremidade esquerda do barco até a extremidade direita do barco, encontrando Romeu), quanto o barco terá se deslocado em módulo e em relação às margens do lago (i.e., qual a deslocamento do barco relativo às margens/à terra)?
(d) Qual a lei física usada e por que podemos usá-la?
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (aula curta e prática): centro de massa de um sistema discreto de partículas.
Se temos partículas (ou corpos) com massas
em posições
(no mesmo eixo), a posição do centro de massa do sistema é
Aqui,
é a posição do centro de massa medida no mesmo eixo;
são as massas e
as posições dessas massas. No nosso problema os termos serão os três corpos: Julieta, Romeu e o barco (podemos tratar o barco como concentrado em seu centro).
Também é crucial a idéia física: se não há força externa resultante na direção considerada (aqui, horizontal), o momento linear total é conservado. Se o sistema começa em repouso, o momento total é zero e, portanto, o centro de massa não se desloca — sua velocidade é zero. Vou usar isso detalhadamente adiante, mas é a razão pela qual podemos relacionar posições iniciais e finais sem conhecer as forças internas.
Passo 3
(a) Calcular a posição inicial do centro de massa usando a fórmula.
Variáveis:
Total de massa:
Aplicando a fórmula do centro de massa:
Agora substituímos os números (faço as contas passo a passo):
Somando o numerador:
Dividindo:
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
Passo 4
(b) Velocidade do centro de massa.
Explicação didática: O único modo de mudar a velocidade do centro de massa é ter uma força externa resultante na direção considerada. No problema, assume-se águas calmas e desprezamos forças horizontais externas (o empuxo vertical e o peso são verticais; as forças horizontais entre pessoas e barco são internas ao sistema). Portanto não há força externa horizontal; o momento linear total é conservado. Como o sistema começa em repouso, o momento total inicial é zero, então o momento fica zero em todo o processo e a velocidade do centro de massa é
(É a consequência direta da conservação do momento linear.)
Passo 5
(c) Deslocamento do barco quando Julieta chega onde Romeu está.
Primeiro interpretar com clareza: “quando Julieta chegar onde Romeu está” significa que Julieta caminha da extremidade esquerda do barco até a extremidade direita e encontra Romeu nessa extremidade. Em termos das posições finais (no referencial do lago/ margem): Romeo continua na extremidade direita do barco (posição relativa ao barco inalterada), e Julieta passa a ocupar essa mesma extremidade direita. Portanto, no instante final ambos (Romeu e Julieta) estão na extremidade direita do barco. Chamemos
a posição final do centro do barco (em relação à origem usada no (a)).
Posições finais em função de
:
Como o centro de massa não se move (
), aplicamos a fórmula do centro de massa no final:
Simplifico o numerador:
Então:
Isolando
:
Substituo os valores já calculados:
Calculo do termo:
Logo
A posição inicial do centro do barco era
. Assim o deslocamento do barco (do seu centro) é
O sinal negativo indica que o barco deslocou-se na direção negativa do eixo que escolhemos — isto é, em direção à margem onde Julieta estava inicialmente (para a esquerda, voltando em direção à origem). Em módulo:
Interpretação física e resposta clara: quando Julieta vai até a extremidade onde Romeu está, o barco desloca-se cerca de
em direção à margem onde Julieta começou (ou seja, o barco recua em direção à margem esquerda). Isso ocorre porque, para manter o centro de massa do sistema fixo, o casco tem que deslocar-se na direção oposta ao movimento relativo da pessoa.
Passo 6
Confirmação rápida e comentário prático (didático):
- Se Julieta caminha para a direita em relação ao barco, as forças que ela aplica tendem a empurrar o barco para a esquerda; o sistema inteiro não sente força externa horizontal significativa, então o centro de massa não se move. Como o centro de massa era mais adiante (em
), o casco desloca-se para a esquerda para compensar a mudança de distribuição de massa. - Todas as contas foram feitas sem desprezar dados do enunciado; tratei o barco como massa concentrada no seu centro (válido para casco homogêneo) e considerei que não há forças horizontais externas significativas (águas calmas, atrito horizontal desprezível).
Resposta
(a)
.
(b)
.
(c) Deslocamento do barco: módulo
; direção: em direção à margem onde Julieta estava inicialmente (ou seja, o barco deslocou-se
para a esquerda no nosso eixo).
(d) Lei usada: conservação do momento linear (equivalente: o centro de massa do sistema permanece em repouso), porque não há força externa horizontal resultante atuando no sistema (forças entre pessoas e barco são internas).