Ex. 9. Calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=4 x y z-ln (2 x y z), fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)

Passo 1

O enunciado nos dá a função de três variáveis
f(x,y,z) = 4,x,y,z ;-;lnl(2,x,y,zr)
e pede as derivadas parciais ,fx, fy e fz. Vamos usar a definição de derivada parcial, isto é, derivar em relação a uma variável mantendo as outras constantes, e aplicar a regra da cadeia no logaritmo.

Passo 2

Cálculo de fx(x,y,z).
  1. A derivada parcial de 4,x,y,z em relação a x é
partialpartial xl(4,x,y,zr) =4,y,z,
pois y e z são tratadas como constantes.
2. Para -lnl(2,x,y,zr), aplicamos a regra da cadeia:
partialpartial xl[ln(2,x,y,z)r] =12,x,y,zcdotpartialpartial xl(2,x,y,zr) =12,x,y,zcdot(2,y,z) =1x
Com o sinal negativo, fica
fx(x,y,z)=4,y,z ;-;1x

Passo 3

Cálculo de fy(x,y,z).
  1. De 4,x,y,z, derivando em y com x,z constantes, obtemos
partialpartial yl(4,x,y,zr) =4,x,z
  1. De -ln(2,x,y,z), análogo ao caso anterior,
partialpartial yl[ln(2,x,y,z)r] =12,x,y,zcdot(2,x,z) =1y,
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fy(x,y,z)=4,x,z ;-;1y

Passo 4

Cálculo de fz(x,y,z).
  1. De 4,x,y,z, derivando em z com x,y constantes, resulta
partialpartial zl(4,x,y,zr) =4,x,y
  1. De -ln(2,x,y,z), usando regra da cadeia,
partialpartial zl[ln(2,x,y,z)r] =12,x,y,zcdot(2,x,y) =1z,
portanto
fz(x,y,z)=4,x,y ;-;1z

Resposta

fx(x,y,z)=4,y,z-1x, fy(x,y,z)=4,x,z-1y, fz(x,y,z)=4,x,y-1z

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