Questão 2- (2,5 pontos) Dada a função f(x)=3 e^x^2-1+ln (2+x^2 cos (pi x)), encontre: ( 1 pt ) sua derivada em um ponto x qualquer; ( 1 pt ) A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,3) ;(0,5 pt) lim x 0 f(x).

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função
f(x)=3e^x^2-1+lnl(2+x^2cos(pi x)r)
Conteúdo envolvido: regra da cadeia (para e^x^2-1), derivada de logaritmo (para ln(cdot)), regra do produto (para x^2cos(pi x)), fórmula da reta tangente
y - f(a) = f'(a),(x - a)
e limites por continuidade.

Passo 2

Calculamos f'(x) em um ponto genérico x. Primeiro,
ddxl(3e^x^2-1r) =3,e^x^2-1cdotddx(x^2-1) =3,e^x^2-1cdot2x =6x,e^x^2-1
Depois, usando ddxln(u)=u'/u com u=2+x^2cos(pi x), e
u'=ddxl(x^2cos(pi x)r) =2xcos(pi x)+x^2l(-sin(pi x)r)pi =2xcos(pi x)-pi x^2sin(pi x),
temos
ddxlnl(2+x^2cos(pi x)r) =2xcos(pi x)-pi x^2sin(pi x)2+x^2cos(pi x)
Somando,
boxedf'(x)=6x,e^x^2-1+2xcos(pi x)-pi x^2sin(pi x)2+x^2cos(pi x)

Passo 3

Para a reta tangente em (1,3) precisamos de f'(1). Como cos(pi)= -1 e sin(pi)=0,
6cdot1,e^1-1=6, 2cdot1cdot(-1)-picdot1^2cdot02+1cdot(-1)=-21=-2,
logo f'(1)=6-2=4. A equação da reta é
y-3=4,(x-1) Longrightarrow boxedy=4x-1

Passo 4

Para limxto0f(x), note que e^x^2-1to e^-1 e
2+x^2cos(pi x)to2+0=2,
portanto
boxedlimxto0f(x)=3e^-1+ln(2)

Resposta

f'(x)=6x,e^x^2-1+dfrac2xcos(pi x)-pi x^2sin(pi x)2+x^2cos(pi x)
Reta tangente em (1,3): y=4x-1
limxto0f(x)=3e^-1+ln(2)

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