Seja n=1,2,3 ldots. Discuta como as observações D^n x^n-1=0 e D^n x^n=n! podem ser usadas para encontrar as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
e) y^prime prime prime=6

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial y'''=6. Vamos usar as observações sobre derivadas de monômios: D^n x^n-1=0 e D^n x^n=n!.

Passo 2

Para encontrar uma solução particular, procuramos um monômio x^m cuja terceira derivada seja a constante 6. Pela observação
D^3 x^3 = 3! = 6,
basta escolher
yp = x^3,
pois então yp'''=6.

Passo 3

A solução geral da equação homogênea associada y'''=0 é um polinômio de grau no máximo 2, já que qualquer monômio de grau menor que 3 tem terceira derivada nula. Assim,
yh = C0 + C1 x + C2 x^2

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma de yp e yh:
y = yp + yh = x^3 + C2 x^2 + C1 x + C0

Resposta

y = x^3 + C2 x^2 + C1 x + C0

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