Seja n=1,2,3 ldots. Discuta como as observações D^n x^n-1=0 e D^n x^n=n! podem ser usadas para encontrar as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
d) y^prime prime=2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
y'' = 2
As observações que vamos usar são
D^2 x^1 = 0 e D^2 x^2 = 2!,
isto é, a segunda derivada de x é zero e a segunda derivada de x^2 é 2.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução complementar (homogênea) resolvendo
y'' = 0
Integrando duas vezes temos
y' = C1 Longrightarrow y = C1 x + C2,
o que bate com a observação D^2 x^1=0, mostrando que x e a constante são soluções da homogênea.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp da forma polinomial de grau 2, pois o termo independente (lado direito) é constante. Tomamos
yp = A,x^2
Aplicando D^2 e usando D^2 x^2=2, obtemos
yp'' = Acdot D^2 x^2 = Acdot 2!
Para que yp''=2 é preciso
Acdot 2 = 2 Longrightarrow A = 1,
logo
yp = x^2

Passo 4

A solução geral da equação é a soma da complementar com a particular:
y = yh + yp = (C1 x + C2) + x^2

Resposta

y = x^2 + C1 x + C2

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