Seja
. Discuta como as observações
e
podem ser usadas para encontrar as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
As observações que vamos usar são
isto é, a segunda derivada de
é zero e a segunda derivada de
é
.
Passo 2
Primeiro obtemos a solução complementar (homogênea) resolvendo
Integrando duas vezes temos
o que bate com a observação
, mostrando que
e a constante são soluções da homogênea.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da forma polinomial de grau 2, pois o termo independente (lado direito) é constante. Tomamos
Aplicando
e usando
, obtemos
Para que
é preciso
logo
Passo 4
A solução geral da equação é a soma da complementar com a particular: