Suponha que seu laboratório de circuitos tenha os seguintes resistores comerciais padrão disponíveis em grande quantidade:
1,8 \Omega
20 \Omega
300 \Omega
24 \mathrm{k} \Omega
$56 \mathrm{k} \Omega
Usando associações em série e em paralelo, e um número mínimo dos resistores disponiveis, defina como você obteria as seguintes resistências para projetar um circuito elétrico de:
(c) 40 \mathrm{k} \Omega

Passo 1

O que o enunciado pede: obter, usando associações em série e em paralelo e o menor número possível de resistores disponí­veis, a resistência equivalente de \,40\\ \mathrm{k}\Omega.
Dados (resistores disponíveis):
1{,}8\\ \Omega,\quad 20\\ \Omega,\quad 300\\ \Omega,\quad 24\\ \mathrm{k}\Omega,\quad 56\\ \mathrm{k}\Omega.
Objetivo explícito desta parte (c): construir exatamente \,40\\ \mathrm{k}\Omega com combinações série/paralelo, usando o mínimo de resistores.

Passo 2

Relembrando as fórmulas básicas (a gente usa isso direto na prova):
  • Resistores em série: a resistência equivalente é a soma. Se temos resistores R_1 e R_2 em série, então
R_{\text{série}} = R_1 + R_2.é
Aqui cada R_i é o valor do resistor em ohms (ou kiloohms etc).
  • Resistores em paralelo: a resistência equivalente de dois resistores R_1 e R_2 em paralelo é
R_{\text{paralelo}}=\frac{R_1\,R_2}{R_1+R_2}.
Explicando: esse resultado vem de somar as condutâncias 1/R. Para dois resistores, 1/R_{\text{eq}} = 1/R_1 + 1/R_2; resolvendo para R_{\text{eq}} dá a fórmula acima.
Vou usar essas fórmulas com unidades em \mathrm{k}\Omega quando for mais conveniente (por exemplo escrever 24\\ \mathrm{k}\Omega como 24 quando estiver claro que a unidade é kΩ).

Passo 3

Testando se um único resistor serve: nenhum dos valores disponíveis é igual a \,40\\ \mathrm{k}\Omega. Logo não dá para com 1 resistor.

Passo 4

Testando combinações com 2 resistores (padrões que aparecem muito na prova):
  • Séries possíveis entre os grandes:
24 + 24 = 48\quad (\mathrm{k}\Omega),\qquad 24 + 56 = 80\quad (\mathrm{k}\Omega),\qquad 56 + 56 = 112\quad (\mathrm{k}\Omega).
Nenhum desses é 40\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Paralelos possíveis entre os grandes:
24 \parallel 24 = \frac{24\cdot24}{24+24}=\frac{576}{48}=12\quad(\mathrm{k}\Omega),
56 \parallel 56 = \frac{56\cdot56}{56+56}=\frac{3136}{112}=28\quad(\mathrm{k}\Omega),
24 \parallel 56 = \frac{24\cdot56}{24+56}=\frac{1344}{80}=16{,}8\quad(\mathrm{k}\Omega).
Também nenhum é 40\\ \mathrm{k}\Omega. Assim, com 2 resistores não conseguimos.

Passo 5

Testando combinações com 3 resistores (os tipos que precisamos checar são: todos em série; dois em paralelo + um em série; um em paralelo com série de dois — essas cobrem as topologias não-triviais de três resistores).
Primeiro, todos em série com os maiores:
24+24+56=104\quad(\mathrm{k}\Omega),\qquad 24+56+56=136\quad(\mathrm{k}\Omega).
Nada perto de 40\\ \mathrm{k}\Omega.
Agora, duas em paralelo e a terceira em série (vou avaliar as opções com os valores grandes, porque resistores pequenos como 300\\ \Omega ou 20\\ \Omega são tão menores que colocá‑los em série simplesmente soma um valor ínfimo que não transformaria, por exemplo, 40{,}8\\ \mathrm{k}\Omega em exatamente 40\\ \mathrm{k}\Omega — depois mostro numericamente um exemplo):
  • (24\parallel24)+56 = 12+56 = 68\\ \mathrm{k}\Omega.
  • (56\parallel56)+24 = 28+24 = 52\\ \mathrm{k}\Omega.
  • (24\parallel56)+24 = 16{,}8+24 = 40{,}8\\ \mathrm{k}\Omega (veja que dá 40{,}8\\ \mathrm{k}\Omega, muito próximo, mas não exatamente 40\\ \mathrm{k}\Omega).
O outro tipo (um resistor em paralelo com a série de dois):
  • 24 \parallel (24+56) = 24 \parallel 80 = \frac{24\cdot80}{24+80}=\frac{1920}{104}=18{,}4615\\ \mathrm{k}\Omega.
  • 56 \parallel (24+56) = 56 \parallel 80 = \frac{56\cdot80}{136}=\frac{4480}{136}=32{,}9412\\ \mathrm{k}\Omega.
Nenhuma dessas é exatamente 40\\ \mathrm{k}\Omega. Note também a observação prática: a combinação (24\parallel56)+24 deu 40{,}8\\ \mathrm{k}\Omega. Poderíamos tentar ajustar usando um resistor muito pequeno em série (por exemplo 300\\ \Omega = 0{,}3\\ \mathrm{k}\Omega) para subtrair 0{,}8\\ \mathrm{k}\Omega — mas em série não se subtrai, soma. Em paralelo não dá um ajuste que transforme 40{,}8 exatamente em 40 sem valores específicos que não temos. Portanto, 3 resistores não possibilitam exatamente 40\\ \mathrm{k}\Omega com os itens disponíveis.

Passo 6

A partir dos testes, a próxima tentativa natural é usar 4 resistores. Vamos procurar uma construção simples e elegante que dê exatamente 40\\ \mathrm{k}\Omega.
Uma estratégia útil é observar que se conseguimos duas blocos em paralelo que valham 28\\ \mathrm{k}\Omega e 12\\ \mathrm{k}\Omega, a soma em série seria 28+12=40\\ \mathrm{k}\Omega. Agora veja que:
56 \parallel 56 = 28\\ \mathrm{k}\Omega,
24 \parallel 24 = 12\\ \mathrm{k}\Omega.
Portanto, se fizermos duas resistências de 56\\ \mathrm{k}\Omega em paralelo (isso usa 2 resistores) obtemos 28\\ \mathrm{k}\Omega. Se fizermos duas resistências de 24\\ \mathrm{k}\Omega em paralelo (mais 2 resistores) obtemos 12\\ \mathrm{k}\Omega. Colocando esses dois blocos obtidos em série obtemos exatamente:
28\\ \mathrm{k}\Omega + 12\\ \mathrm{k}\Omega = 40\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 7

Verificação numérica detalhada (mostrando as contas passo a passo, como se estivesse na prova):
  • Duas de 56\\ \mathrm{k}\Omega em paralelo:
R_{56\parallel56}=\frac{56\cdot56}{56+56}=\frac{3136}{112}=28\quad(\mathrm{k}\Omega).
  • Duas de 24\\ \mathrm{k}\Omega em paralelo:
R_{24\parallel24}=\frac{24\cdot24}{24+24}=\frac{576}{48}=12\quad(\mathrm{k}\Omega).
  • Série dos dois blocos:
R_{\text{total}}=28+12=40\quad(\mathrm{k}\Omega).
Contagem de resistores usados: 2 de 56\\ \mathrm{k}\Omega + 2 de 24\\ \mathrm{k}\Omega = 4 resistores no total.

Passo 8

Argumento final sobre minimalidade (por que não dá com menos de 4):
  • Com 1 resistor impossível (não existe 40\\ \mathrm{k}\Omega disponível).
  • Com 2 resistores já testamos todas as séries e paralelos entre os valores disponíveis e nenhum deu 40\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Com 3 resistores enumeramos as topologias principais (todos em série; dois em paralelo + um em série; um em paralelo com série de dois) e os resultados possíveis com os valores maiores ( 24 e 56\\ \mathrm{k}\Omega) não incluem 40\\ \mathrm{k}\Omega. Incluir resistores muito pequenos ( 300\\ \Omega, 20\\ \Omega, 1{,}8\\ \Omega) não permite ajustar exatamente a diferença fracionária necessária (por exemplo transformar 40{,}8 em 40) por soma/parallel simples — além de que sua magnitude é muito pequena para, por série, trazer uma redução, e em paralelo eles tendem a puxar o conjunto para valores muito baixos, não para 40\\ \mathrm{k}\Omega. Assim, concluímos que não é possível com 1, 2 ou 3 resistores e que a solução com 4 resistores é de fato a construção de menor número que alcança exatamente 40\\ \mathrm{k}\Omega.

Resposta

Duas de 56\\ \mathrm{k}\Omega em paralelo (dando 28\\ \mathrm{k}\Omega) e duas de 24\\ \mathrm{k}\Omega em paralelo (dando 12\\ \mathrm{k}\Omega); os dois blocos em série resultam em 40\\ \mathrm{k}\Omega. Número mínimo de resistores: 4.

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