Suponha que seu laboratório de circuitos tenha os seguintes resistores comerciais padrão disponíveis em grande quantidade:
$56 \mathrm{k} \Omega
Usando associações em série e em paralelo, e um número mínimo dos resistores disponiveis, defina como você obteria as seguintes resistências para projetar um circuito elétrico de:
(c)
$56 \mathrm{k} \Omega
(c)
Passo 1
O que o enunciado pede: obter, usando associações em série e em paralelo e o menor número possível de resistores disponíveis, a resistência equivalente de
.
Dados (resistores disponíveis):
Objetivo explícito desta parte (c): construir exatamente
com combinações série/paralelo, usando o mínimo de resistores.
Passo 2
Relembrando as fórmulas básicas (a gente usa isso direto na prova):
- Resistores em série: a resistência equivalente é a soma. Se temos resistores
e em série, então
Aqui cada
é o valor do resistor em ohms (ou kiloohms etc).
- Resistores em paralelo: a resistência equivalente de dois resistores
e em paralelo é
Explicando: esse resultado vem de somar as condutâncias
. Para dois resistores,
; resolvendo para
dá a fórmula acima.
Vou usar essas fórmulas com unidades em
quando for mais conveniente (por exemplo escrever
como
quando estiver claro que a unidade é kΩ).
Passo 3
Testando se um único resistor serve: nenhum dos valores disponíveis é igual a
. Logo não dá para com 1 resistor.
Passo 4
Testando combinações com 2 resistores (padrões que aparecem muito na prova):
- Séries possíveis entre os grandes:
Nenhum desses é
.
- Paralelos possíveis entre os grandes:
Também nenhum é
. Assim, com 2 resistores não conseguimos.
Passo 5
Testando combinações com 3 resistores (os tipos que precisamos checar são: todos em série; dois em paralelo + um em série; um em paralelo com série de dois — essas cobrem as topologias não-triviais de três resistores).
Primeiro, todos em série com os maiores:
Nada perto de
.
Agora, duas em paralelo e a terceira em série (vou avaliar as opções com os valores grandes, porque resistores pequenos como
ou
são tão menores que colocá‑los em série simplesmente soma um valor ínfimo que não transformaria, por exemplo,
em exatamente
— depois mostro numericamente um exemplo):
-
-
-
(veja que dá , muito próximo, mas não exatamente ).
O outro tipo (um resistor em paralelo com a série de dois):
Nenhuma dessas é exatamente
. Note também a observação prática: a combinação
deu
. Poderíamos tentar ajustar usando um resistor muito pequeno em série (por exemplo
) para subtrair
— mas em série não se subtrai, soma. Em paralelo não dá um ajuste que transforme
exatamente em
sem valores específicos que não temos. Portanto, 3 resistores não possibilitam exatamente
com os itens disponíveis.
Passo 6
A partir dos testes, a próxima tentativa natural é usar 4 resistores. Vamos procurar uma construção simples e elegante que dê exatamente
.
Uma estratégia útil é observar que se conseguimos duas blocos em paralelo que valham
e
, a soma em série seria
. Agora veja que:
Portanto, se fizermos duas resistências de
em paralelo (isso usa 2 resistores) obtemos
. Se fizermos duas resistências de
em paralelo (mais 2 resistores) obtemos
. Colocando esses dois blocos obtidos em série obtemos exatamente:
Passo 7
Verificação numérica detalhada (mostrando as contas passo a passo, como se estivesse na prova):
- Duas de
em paralelo:
- Duas de
em paralelo:
- Série dos dois blocos:
Contagem de resistores usados:
de
+
de
=
resistores no total.
Passo 8
Argumento final sobre minimalidade (por que não dá com menos de 4):
- Com 1 resistor impossível (não existe
disponível). - Com 2 resistores já testamos todas as séries e paralelos entre os valores disponíveis e nenhum deu
. - Com 3 resistores enumeramos as topologias principais (todos em série; dois em paralelo + um em série; um em paralelo com série de dois) e os resultados possíveis com os valores maiores (
e ) não incluem . Incluir resistores muito pequenos ( , , ) não permite ajustar exatamente a diferença fracionária necessária (por exemplo transformar em ) por soma/parallel simples — além de que sua magnitude é muito pequena para, por série, trazer uma redução, e em paralelo eles tendem a puxar o conjunto para valores muito baixos, não para . Assim, concluímos que não é possível com 1, 2 ou 3 resistores e que a solução com 4 resistores é de fato a construção de menor número que alcança exatamente .
Resposta
Duas de
em paralelo (dando
) e duas de
em paralelo (dando
); os dois blocos em série resultam em
. Número mínimo de resistores:
.